Многопродуктовая модель с ограничением на вместимость склада

В данной модели описывается выбор оптимальных решений относительно нескольких продуктов, которые независимы по применению, хранятся на одном складе с ограниченным объемом. Это ограничение не позволяет разбить задачу на несколько независимых однопродуктовых моделей и требует применения особого метода поиска оптимального решения.

Искомыми величинами являются размеры партий поставок каждого продукта, при которых:

- все закупленные партии продуктов удается разместить на складе заданной вместимости;

- суммарные издержки, включающие затраты на оформление договоров поставки и хранение продуктов, являются минимальными.

Все допущения рассмотренной ранее однопродуктовой модели считаются выполненными.

В данной модели вводятся дополнительно следующие обозначения:

n – количество продуктов;

S – вместимость склада;

A_i – часть склада, необходимая для хранения единицы продукции i-го вида.

Если материалы будут закуплены партиями размерами y₁, y₂,..., y_n, то для их хранения потребуется помещение, вместимостью

S_м = ∑A_iy_i. (17)

При этом должно выполняться следующее условие:

S_м = ∑A_iy_i <=S. (18)

Суммарные издержки на обеспечение запаса i-го продукта будут определяться по правилу, описанному выше в однопродуктовой модели:

Z_i(y_i) = ∑(K_ib_i/y_i + h_iy_i/2), i=1,2...n. (19)

Общие издержки на обеспечение запасов всех видов материалов будут равны сумме

Z(y₁, y₂,...,y_n) = ∑Z_i(y_i) = ∑(K_ib_i/y_i + h_iy_i/2), (20)

Выражение (20) определяет целевую функцию задачи, которая должна быть минимизирована с учетом ограничения (18).

Для поиска оптимального решения следует воспользоваться методом множителей Лагранжа, в результате которого получаем формулу (21), по которой путем проведения циклической итеративной процедуры можно с требуемой точностью установить значения искомых величин.

y_i = √(2K_ib_i/(h_i + 2λA_i)), (21)

λ – множитель Лагранжа, принимающий малые положительные значения. Когда этот множитель равен 0, формула (21) превращается в обычную формулу Уилсона, а расчет даст оптимальные размеры партии поставок без учета ограничения на вместимость склада. При других положительных значениях λ, значения искомых переменных получат иные меньшие значения. На этом основана процедура решения задачи с ограничением.

На первом шаге принимается λ = 0, рассчитываются значения y_i, проверяется выполнение ограничения (18). Если оно выполнено, то задача решена. Если оно не выполняется (т.е. является активным), то значение λ увеличивают с некоторым шагом Δλ, для каждого нового значения рассчитывают y_i и проверяют выполнение ограничения. Как только оно будет выполнено (с учетом заданных ранее допустимых отклонений), решение заканчивается и в качестве искомого результата принимается последний из рассчитанных наборов y_i. При выборе величины шага Δλ следует учесть, что при слишком малом шаге процесс расчета потребует большого количества итераций (будет слишком медленным). При большом шаге появляется опасность существенного недоиспользования вместимости склада, что является экономически неэффективным и потребует возврата к предыдущим значениям и проведения новых расчетов. Рекомендуется принимать величину шага Δλ в пределах (0,05; 0,15).

Пример

Таблица 9 – Исходные данные

i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Таблица 10 – Поиск решения

λ	y₁	y₂	y₃	S_м	S- S_м
	16,97	12,76	10,58		-50
0,05	15,49	11,79	10,18		-22
0,1	14,34	11,01	9,83

При λ=0,1 склад заполнен на 100 %, при этом оптимальные размеры партий закупки – y₁=14,34; y₂=11,01; y₃=9,83.

Индивидуальное задание III по теме 2:

- определить оптимальные размеры партий закупок трех материалов при наличии ограничения на вместимость склада, обеспечив его заполнение не менее чем на 95 %. Вычисления представить в таблице.

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вартант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S

Вариант	i	K_i	b_i	h_i	A_i	S