Проблеми оптимізації в системному аналізі та моделюванні

ТЕМА 4. СИСТЕМНО-МЕТОДОЛОГІЧНІ АСПЕКТИ МОДЕЛЮВАННЯ

Вступ

У процесі дослідження реальних об'єктів та побудови їх моделей використовують різноманітні методи, що залежать від характеристик об'єкта, що досліджується, рівня наших знань про нього, мети дослідження та вимог до моделі. Найрозповсюдженішими системно-методологічними підходами до дослідження систем є аксіоматичний, імітаційний, Оптимізаційний та моделювання у вигляді «чорної скрині». Процес побудови аксіоматичної моделі полягає у відповідній інтерпретації та переведенні змістовного описання системи на мову строгих математичних термінів та відношень, у процесі чого усуваються неясності, суперечності, неповнота або надлишковість, які властиві змістовному описанню системи. Однак це тягне за собою в деяких випадках ряд суттєвих спрощень, які можуть деформувати об'єктивні механізми функціонування реальної системи, що моделюється. Емпірико-статистичні моделі використовують широко відому кібернетичну ідею «чорної скрині», що не дозволяє зробити висновків про структуру системи, причинно-наслідкові зв'язки та механізми її функціонування. Ці моделі являють собою моделі типу «вхід—вихід», і їх побудова зводиться до обґрунтування застосовності деяких теоретичних гіпотез про припустимі форми взаємозв'язку між входами та виходами системи і відповідності модельних результатів виміряним значенням входів та виходів реальної системи. Аксіоматичні та статистичні моделі — це моделі описового, або дескриптивного типу. Оптимізаційна модель включає в себе формальну модель взаємозв'язків між змінними та параметрами (дескриптивна частина), а також опис критеріїв якості функціонування системи у вигляді функцій, залежних від цих змінних та параметрів. Імітаційні моделі складних систем є найрозповсюдженішими внаслідок своєї універсальності, можливості проведення чисельних експериментів, планування різноманітних змін. Основу імітаційних моделей складають сукупні знання експертів з даної проблеми. Імітаційні моделі дозволяють дослідити загальносистемні властивості, поведінку системи в особливих ситуаціях, знайти кращі значення параметрів системи, які до початку дослідження були вільними, прогнозувати поведінку системи в часі. Алгоритмічна структура імітаційних моделей сприяє реалізації різноманітних схем ієрархічного підпорядкування та координації між елементами моделі.

Піcля вивчення теми Ви повинні:

вимоги, що повинні бути виконані при побудові аксіоматичних моделей та послідовність їх побудови;

основні особливості емпірико-статистичного підходу до дослідження систем;

основні кроки застосування методу «чорної скрині»;

структуру та порядок синтезу оптимізаційних моделей систем;

можливості імітаційних моделей та області їх застосування.

відрізняти аксіоматичні моделі від інших типів;

висувати та обґрунтовувати теоретичні гіпотези щодо форм взаємного зв'язку між входами та виходами системи;

визначати складові системи та підсистеми, при дослідженні яких доцільно використовувати оптимізаційний підхід;

оцінювати відповідність імітаційної моделі реальній системі на ґрунті аналізу виконання загальних умов адекватного відображення перебігу процесів в реальній системі.

Ключові поняття та терміни

аксіоматичний підхід

математична модель

абстрактна система «чорна скриня»

емпірико-статистичний підхід

активний експеримент

адекватність

стохастична модель

дескриптивна модель

нормативна модель

структуризація

імітаційна модель

модель компоненти

імітація

алгоритмічна структура

числовий експеримент

План лекції

4.1. Дослідження систем за допомогою аксіоматичного підходу.

4.2. Метод «чорної скрині».

4.3. Проблеми оптимізації в системному аналізі та моделюванні.

4.4. Імітаційні моделі.

4.1. ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМ ЗА ДОПОМОГОЮ АКСІОМАТИЧНОГО ПІДХОДУ

Аксіоматичний підхід до дослідження систем є одним з найбільш поширених та відомих формальних підходів. Необхідними припущеннями при побудові аксіоматичних моделей систем є:

1. Достатність математичної моделі для всебічного дослідження системи згідно до мети моделювання в визначених умовах.

2. Наявність множини базових припущень щодо найхарактерніших форм та виявів внутрішніх системних механізмів, що підлягають вивченню (пізнанню), або процедури їх виявлення.

Отже, математична модель будується на ґрунті використання базових припущень (аксіом), які в свою чергу повинні відповідати наступним вимогам:

1. Базові припущення створюються, використовуючи наявне змістовне описання функціонування системи в аспектах, що підлягають пізнанню (вивченню).

2. Базові припущення повинні утворювати абстрактну систему, до складу якої входитимуть: визначення — терміни деякої формальної мови описання змінних предметної області; вислови складаються з термінів та символів математичних операцій, які являють собою або дескриптивні визначення характерних властивостей системи, або правила, які встановлюють закони формального виведення нових виразів.

3. Система базових припущень повинна являти собою формально та змістовно несуперечливу систему аксіом.

Процес побудови аксіоматичної моделі полягає в відповідній інтерпретації та переведенні змістовного описання системи на мову строгих математичних термінів та відношень, у процесі чого усуваються неясності, суперечності, неповнота або надлишковість, які властиві змістовному описанню системи. Однак, це тягне за собою в деяких випадках ряд суттєвих спрощень, які можуть деформувати об'єктивні механізми функціонування реальної системи, що моделюється. Аксіоматичні моделі як абстрактні системи широко застосовуються в природничих та технічних науках для побудови моделей реального світу, а також в математиці для отримання та дослідження нових абстрактних об'єктів з новими властивостями.

Дослідження та вивчення систем за допомогою аксіоматичних моделей відбувається в такій послідовності:

1. Перехід від змістовного до формального описання системи. Цей процес відбувається шляхом спроб застосування мов—посередників для описання різних аспектів функціонування системи з наступним переходом до строгих формальних текстів, записаних на єдиній мові певної математичної теорії.

2. Побудова системи аксіом. У процесі побудови виключаються надлишкові описання, усуваються суперечності та неповнота наявної інформації з поверненням в необхідних випадках до п.1.

3. Використання системи аксіом для отримання моделі системи виведенням формальним шляхом гомоморфного відображення реальних форм руху системи (поведінки системи). В результаті отримуємо обмежену модель, що зумовлено обмеженістю системи аксіом.

4. Інтерпретація моделі шляхом пояснення окремих результатів, отриманих за допомогою моделі, як механізмів та аспектів діяльності реальної системи. В ході цього процесу виявляються межі змістовної відповідності моделі та достовірності отриманих результатів.

5. Побудова теорії за результатами інтерпретації моделі та визначення меж її застосування. Пояснення за допомогою теорії встановлених фактів поведінки системи.

6. Виявлення нової інформації про поведінку системи шляхом застосування теорії з наступним експериментальним підтвердженням отриманих результатів.

Аксіоматичний підхід добре себе зарекомендував при дослідженні систем, які діють згідно до певних визначених правил у детермінованому середовищі. За допомогою цього підходу будуються абстрактні системи, що можуть бути застосовані до широкого кола проблем, але проблем, що можуть бути формалізованими. Натомість в системному аналізі досліджуються складні проблеми, а тому безпосереднє застосування аксіоматичного підходу тут є неможливим. Значно частіше і з успіхом аксіоматичний підхід застосовується до аналізу та описання функціонування окремих підсистем та елементів складної системи, як встановлення виду функцій корисності особи, що приймає локальні рішення, механізми функціонування детермінованих складових складної системи та ін.

4.2. МЕТОД «ЧОРНОЇ СКРИНІ»

Емпірико-статистичні моделі використовують широко відому кібернетичну ідею «чорної скрині», що не дозволяє зробити висновків про структуру системи, причинно-наслідкові зв'язки та механізми її функціонування. Наявна апріорна інформація відносно цих аспектів практично не використовується.

У визначенні поняття «системи» відсутня конкретна інформація про її внутрішню будову. Тому систему можна зобразити у вигляді чорної непрозорої скрині, що виділена з середовища. Вже ця, максимально спрощена модель, відображає дві важливі властивості системи, а саме цілісність та відокремленість від середовища. З іншого боку, хоча «чорна скриня» й відокремлена, виділена з середовища, тим не менше вона не є ізольованою від нього.

Дійсно, насправді досягнута мета — це не що інше, як заплановані раніше зміни в зовнішньому середовищі, деякі продукти функціонування системи, що призначені для споживання за її межами.

Отже, система пов'язана з середовищем та за допомогою цих зв'язків виявляє певні дії на зовнішнє середовище. В моделі «чорної скрині» цьому відповідають дуги, що скеровані від системи до зовнішнього середовища — виходи системи (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Модель «чорної скрині»

Через виходи система, діючи на зовнішнє середовище, реалізує своє призначення, мету. Окрім того, в визначенні системи є й вказівка на наявність зв'язків іншого типу — система є засобом, а тому повинні існувати й можливості її використання, дії на неї, тобто зв'язки, що скеровані від середовища до системи — входи системи.

Назва «чорна скриня» образно підкреслює повну відсутність інформації про внутрішню будову «скрині»: в цій моделі задані, фіксуються та перераховуються лише вхідні та вихідні зв'язки з середовищем. У багатьох випадках, незважаючи на зовнішню простоту та відсутність даних про внутрішню будову системи, така модель виявляється корисною.

В багатьох випадках достатнім є змістовне описання входів та виходів — в цьому випадку «чорна скриня» — це список входів та виходів. Наприклад, комп'ютер у такому представленні виглядатиме наступним чином: входи — кабель електроживлення, клавіатура, мишка, дисковід, кабель до модему (у випадку наявності Internet), зчитувач компакт-дисків; виходи — монітор, дисковід, кабель до модему (у випадку наявності Internet), акустичні колонки.

При детальнішому підході може виявитися необхідність кількісного описання деяких (чи всіх) характеристик входів та виходів. Формалізуючи модель «чорної скрині» в результаті ми отримуємо дві множини вхідних та вихідних змінних, між якими не зафіксовано ніяких відношень (в іншому випадку це вже буде «напівпрозора» чи «прозора» скриня).

Побудова моделі у вигляді «чорної скрині» насправді не є такою простою, як видається. Здається, що все просто — потрібно лише перерахувати входи та виходи системи — і модель побудована. Але якщо лише це потрібно буде зробити для конкретної системи, виявляються неочікувані труднощі.

Так, при розгляді комп'ютера виходами є також, як не дивно — вентиляційна система — з одного боку з точки зору шумових характеристик (рівень шуму завжди бажано підтримувати на мінімальному рівні), та теплових — за певних умов зовнішнього середовища при підвищеній чи пониженій температурі можливі збійні ситуації або й взагалі відмова працювати. Можуть бути потрібними й конкретні характеристики окремих виходів (частота кадрової розгортки в монітора при роботі з офісними та графічними застосуваннями з різною роздільчою здатністю) чи пропускна спроможність каналу зв'язку у випадку наявності Internet. При купівлі принтера, сканера, цифрової фотокамери у комп'ютера з'являються додаткові входи та виходи — і користувачеві до певного моменту їх наявність чи відсутність несуттєва, але як тільки з'являється потреба — наявність чи відсутність, скажімо входу USB для роботи з сучасними периферійними пристроями може виявитися дуже важливою.

Отже, при формулюванні додаткових аспектів (надійність, зручність користання, ергономічні та технічні характеристики, умови експлуатації, відповідність моді, наявність розширень з метою використання в майбутньому певних периферійних засобів) модель «чорної скрині» суттєво модифікується, і відразу й назавжди вирішити, які входи та виходи наявні в системі — виявляється непростим завданням.

Побудова моделі «чорної скрині» не є тривіальним завданням, тому що відповідь на запитання, які з входів та виходів потрібно включати до складу моделі, не завжди є простою та однозначною. Головною причиною множинності входів та виходів в моделі «чорної скрині» є те, що будь-яка реальна система, як і інший об'єкт, взаємодіє з об'єктами зовнішнього середовища безмежним числом способів. У процесі побудови моделі системи з нескінченної множини зв'язків дослідник відбирає скінчене число для включення список входів та виходів. Критерієм відбору при цьому є цільове призначення моделі, суттєвість того чи іншого зв'язку відносно цієї мети. Те, що є суттєвим — включається, що ні — не включається до списку. Саме тут можливе виникнення помилок, тому що від того, що ми виключаємо з розгляду певні зв'язки, вони не зникають, і так чи інакше діють незалежно від нас. У багатьох випадках виявляється, що ті зв'язки, які спочатку здавалися нам несуттєвими, насправді є важливими і повинні бути враховані.

Це має особливе значення при визначенні мети системи, яка осягається через виходи «чорної скрині» і стосується як описання існуючих систем, так і проектів поки що неіснуючих систем. Реальна система взаємодіє з об'єктами оточуючого середовища, тому важливо якомога раніше, найкраще на стадії побудови моделі, врахувати найсуттєвіше. Внаслідок цього необхідно поряд з генеральною метою сформулювати перелік додаткових цілей, тому що виконання лише генеральної мети є недостатнім.

Отже, моделі у вигляді «чорної скрині» — це моделі типу «вхід— вихід», і їх побудова зводиться до обґрунтування застосовності деяких теоретичних гіпотез про припустимі форми взаємозв'язку між входами та виходами системи і відповідності модельних результатів виміряним значенням входів та виходів реальної системи. По суті здійснюється перехід до певної «напівпрозорої» скрині як моделі первісної «чорної скрині». Статистичні моделі будуються на основі експериментальних даних шляхом пасивного або активного експерименту.

Послідовність дослідження систем за допомогою емпірико-статистичних моделей наступна:

1. Отримання експериментальних даних шляхом «зовнішнього» (вхід-вихід) дослідження — спостереження та (або) проведення спрямованого активного експерименту з використанням результатів теорії планування експерименту.

2. Аналіз експериментальних даних, висування та перевірка статистичних гіпотез про взаємозв'язок змінних та відповідність вимогам застосованого математичного апарату.

3. Інтерпретація формальних статистичних моделей, визначення меж їхньої змістовної та формальної дійсності та застосовності, аналіз властивостей моделі, оцінка та змістовна інтерпретація отриманих результатів.

4. Перевірка адекватності статистичних моделей, дослідження гіпотез експертів про властивості системи.

5. Використання накопичених знань про систему, змістовних описань та гіпотетичних формальних уявлень про внутрішні механізми функціонування системи для пояснення стохастичної моделі.

Стохастичні моделі — це обмежені зовнішні описання системи, що використовують лише ту зовнішню інформацію, яку можна виміряти. Динамічність системи, яка моделюється (нестаціонарність, зміни значень параметрів та структури системи в часі, критеріїв складових підсистем) приводить до порушень попередніх статистичних гіпотез, зменшення достовірності отриманих за допомогою моделі результатів з розширенням горизонту часу. Найуспішніше стохастичні моделі застосовуються в тих галузях, де дія вхідних та вихідних змінних може бути описана за допомогою аксіоматики теорії ймовірностей та математичної статистики.

ПРОБЛЕМИ ОПТИМІЗАЦІЇ В СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ ТА МОДЕЛЮВАННІ

Аксіоматичні та статистичні моделі — це моделі описового, або дескриптивного типу. Наявність нормативної функції — критерію, що дозволяє обґрунтувати вибір дій, які забезпечать ефективне функціонування системи, приводить до нормативних моделей. Однак нормативний підхід в «чистому» вигляді не здобув широкого розповсюдження, тому що розрахований на надраціональну людину з надзвичайно потужним інтелектом, що послуговується такими ж надпотужними технічними засобами. Найпліднішим виявився прескриптивний підхід, який обґрунтовує вибір людини (дослідника) з нормальним інтелектом — фахівця в своїй галузі.

З математичної точки зору поняття оптимуму відповідає поняттю екстремального значення деякої функції, що при наявності декількох критеріїв приводить до побудови множини Парето-оптимальних рішень. При дослідженні складних систем виникає ряд прагматичних проблем, що приводять до дещо іншого трактування оптимальності, а саме як ступеня досягнення мети, причому мета, як правило, формулюється в достатньо нечіткому вигляді та багатоаспектно. Класичні моделі математичного програмування та теорії ігор, що розглядаються в дослідженні операцій, в багатьох випадках внаслідок сильної ідеалізації реальної системи не дозволяють застосувати отримані результати з достатнім рівнем адекватності.

Оптимізаційна модель включає в себе формальну модель взаємозв'язків між змінними та параметрами (дескриптивна частина), а також опис критеріїв якості функціонування системи у вигляді функцій, залежних від цих змінних та параметрів.

Оптимізаційна модель будується на основі змістовного описання системи в такій послідовності:

1. Визначення потреб, напрямків та можливостей покращення системи. Формулювання на змістовному рівні мети функціонування системи. Аналіз гіпотез, пріоритетів та можливостей їх реалізації в процесі функціонування системи. Розроблення концептуальної моделі дескриптивної частини та концепції вимірювання якості функціонування системи.

2. Структуризація мети функціонування системи, побудова множини критеріїв оцінки якості, визначення шкал вимірювання критеріїв.

3. Узгодження концептуальної моделі з результатами емпірико-статистичних досліджень. Побудова оптимізаційної моделі в класичному вигляді.

4. Вибір способу розв'язування оптимізаційної задачі, оцінювання стійкості оптимуму.

5. Оцінювання результатів. Змістовна інтерпретація результатів, корегування оптимізаційної моделі.

При всій корисності ідеї оптимізації слід достатньо обережно нею користатися, що пов'язане з наступним:

Ø оптимальний розв'язок в багатьох випадках виявляється дуже нестійким, а саме незначні на перший погляд зміни в умовах задачі можуть привести до вибору суттєво різних альтернатив; в результаті останнім часом в теорії оптимізації таким чином модифікують поняття оптимальності, щоб отримані рішення були певною мірою стійкими;

Ø оптимізація завжди спирається на припущення, що наявні критерії з достатньою точністю відображають мету; навіть якщо це й так, то зазвичай та система, що розглядається, є частиною надсистеми, і локально оптимальне рішення може бути й зовсім не оптимальним з точки зору «надсистеми», що приводить до необхідності координувати критерії підсистем з критеріями системи;

Ø визначення максимального значення критерію якості не може ототожнюватися з метою, тому що ціль та критерій (критерії) перебувають у такому ж відношенні, як оригінал та модель. Тому, особливо коли виникають складності з кількісним описанням мети (а в складних системах це абсолютна більшість випадків), кількісні критерії є лише сурогатом мети. Отже, кількісні критерії в більшості випадків стосовно складних систем лише непрямо та наближено описують мету;

Ø одним з найважливіших аспектів оптимізації є адекватне описання обмежень — навіть невеликі зміни в значеннях параметрів обмежень можуть суттєво вплинути на положення оптимального розв'язку. З одного боку, не врахувавши всіх суттєвих обмежень, максимізувавши значення критерію, одночасно при практичному його впровадженні ми можемо отримати вкрай небажані наслідки; якщо ж обмеження будуть занадто «жорсткими», область припустимих розв'язків може виявитися порожньою.

Оптимізаційні моделі в чистому вигляді знаходять обмежене використання в системному аналізі, значно частіше вони використовуються в якості частин або елементів моделей імітаційного типу. Це зумовлене тим, що оптимізаційні моделі описують закриті системи, дозволяють отримати оптимальні рішення для окремих класів завдань невеликої порівняно з вимогами реальної системи розмірності, занадто формалізовані (не враховують якісні, нечіткі та стохастичні аспекти), вимагають критеріїв певного вигляду — зазвичай у вигляді лінійних або квадратичних функцій.

З метою усунення недоліків при застосуванні оптимізації слід реалізувати аналіз на чутливість, використання стійких (робастних) процедур оцінювання значень параметрів оптимізаційних задач, виділення множини Парето-оптимальних розв'язків з наступним її звуженням на ґрунті додаткової інформації, яка отримуватиметься від особи, що приймає рішення, використання декількох видів згорток критеріїв та ін.

Ідея оптимальності, що є надзвичайно плідною стосовно систем, що піддаються адекватній математичній формалізації, не може бути прямо перенесена на складні системи. З точки зору системного аналізу оптимізація — це потужний засіб підвищення ефективності, однак застосовувати її слід все більш обережно зі зростанням складності проблеми. Оптимізаційні задачі, які вдається побудувати у процесі дослідження складних систем, практично у всіх випадках мають частковий характер, коли описують добре структуровані підсистеми, або ж є суттєвим наближенням у випадку описання системи загалом. Тому оптимізація в системних дослідженнях не є ціллю, а засобом, проміжним одним з етапів системного дослідження.

Висока практичність оптимізації в технічних системах не повинна породжувати ілюзії, що такий же ефект дасть оптимізація складних систем — в складних системах формалізація приводить, як це не парадоксально, до наближених результатів, які в більшості випадків внаслідок суттєвих спрощень будуть ненадійними.

ІМІТАЦІЙНІ МОДЕЛІ