- Сложение
А) 
Б) 
В) 
Г) 
Противоположные вектора – вектора модули которых равны, но направление противоположное.
19.
- Умножение вектора на число
, если а) 
Свойства
1. 
2. 
3. 
4. 
Орт вектора – единичный вектор сонаправленный с данным вектором.
20.
Ось – прямая с заданным направлением.
Проекция точки – основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось.
ПрeAB=|AB| или -|AB|
Свойства проекции.
1. ПреAB=|AB|cosA
Доказательство: 1.A-острый Из треуг. ABB’’: |AB’’| =|AB|cosA
2. A-тупой B=180-A |CC’|=|DC|cosB=|DC|cos(Pi-A)=-|DC|cosA =>
=>|D’C’|=-|DC|cosA
2. ПреAB+ПреВС=Пре(АВ+ВС)
Доказательство:
1.А1-угол между AB и e A2 – угол между ВС и е острые
ПреАВ=|А’В’| ПреВС=|В’С’ | Пре(АВ+ВС)=|В’С’|+|А’В’| =|A’C’|
2.А1- острый A2 – тупой
ПреАВ=|А’В’| ПреВС=-|В’С’ | Пре(АВ+ВС)=|В’С’|-|А’В’| =|A’C’|
3.k*Прea=Преka
Доказательство:
1. K>0 => ka||a => угол не меняется
Преа=|a|cosA Преka=|ka|cosA=|k|Преа
2. K<0 => угол между ka и e =Pi-A
Прeka=|ka|cos(Pi-A)=|k||a|(-cosA)=-|k||a|cosA=kПрea
21.
ab=|a||b|cosA
Свойства
1. Преа=|a|cosA=ab/|b|
Праb=|b|cosA =>ab/|a|
=> ab=|b|Прba=|a|Праb
2. a(b+c)=ab+ac
Доказательство: ab=|a|Прab ac=|a|Прас
Пра(b+c)=Праb +Прас =>|a|Pra(b+c)=|a|Prab+|a|Praс => a(b+c)=ab+ac
3. (na)b=a(nb)=n(ab)
Доказательство: a(nb)=|a|Prabn=|a|nPrab=n(ab)
4. Два ненулевых вектора а≠0, b≠0 перпендикулярны когда ab=0 и наоборот.
Доказательство: 1. если a┴b, то угол A=90o => cosA=0, то ab=0
5. Связь между длиной вектора и скалярным произведением.
Aa=|a||a|=|a|2=> |a|= 
22.
c=axb, если
1. |c|=|a||b|sinA
2. c┴a c┴и
3. a b с образуют первую тройку векторов
Свойства
- геометрический смысл S=axb
- axb=-bxa
- ax(b+c)=axb+cxa
- Умножение вектора на число (na)xb=ax(nb)=n(axb)
23.
Смешанное произведение векторов
C(axb)=a(bxc)=abc
V=abc
24.
Признак коллинеарности векторов
a\\b то существует k≠0? Что b=ka
Доказательство:
- Если b=ka =>b||a, по определению умножения вектора на число.
- Пусть b||a, возьмем k=|b|/|a|
Если а||b то k=|k|
Если a||b то k=-|k|
Тогда с=ka будет с=b, т.е. b=ka, c=ka
a) | c|=|k||a|
b) c||a
c) c||a, если k>0
d) c||a, tckb k<0
Теорема.
Если 2 вектора коллинеарные то они линейно зависимы.
Доказательство:
По признаку коолинеарности: a=kb a-kb=0
- a≠0, b≠0 тогда a и b ЛЗ l1=1, l2=-k
- а=0, тогда l1=1, l2=0 – ЛЗ
Два ненулевых вектора а≠0, b≠0 перпендикулярны когда ab=0 и наоборот.
Доказательство: 1. если a┴b, то угол A=90o => cosA=0, то ab=0
3 вектора компланарны если лежат в одной плоскости т.е. их смешанное произведение равно 0.
25.
Векторы a1 a2…an называются ЛЗ если существуют n1 n2…nn, где хотя бы одно ni≠0, что n1a1+n2a2+…+annn=0, если это условие выполняется при всех n=0 то векторы ЛНЗ
Базисом в некотором пространстве называется набор из n ЛНЗ векторов a1 a2…an, такой что любой вектор b из этого пространства можно представить как линейную комбинацию базисных векторов т.к. существуют числа n1 n2…nn b=n1a1 +n2a2+…+nnan
26.
Теорема.
Если 2 вектора коллинеарные то они линейно зависимы.
Доказательство:
По признаку коолинеарности: a=kb a-kb=0
- a≠0, b≠0 тогда a и b ЛЗ l1=1, l2=-k
- а=0, тогда l1=1, l2=0 – ЛЗ
В соответствии с этой теоремой получаем что если вектора неколлинеарны то они ЛНЗ.
28.
