ПРОЦЕССОРЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
6.1. ПРИНЦИПЫ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОЦЕССОРОВ ОБРАБОТКИ
СИГНАЛОВ
ПРИНЦИПЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ В ЦИФРОВЫХ
СИСТЕМАХ
Архитектура DSP определяется несколькими базовыми операциями, которые используются в алгоритмах ЦОС.
Для выделения таких операций проведем функциональный анализ основных направлений ЦОС, к которым относятся цифровая фильтрация и спектральный анализ.
Цифровая фильтрация. В области цифровой фильтрации разработчик систем ЦОС имеет дело с реализацией КИХ- и БИХ-фильтров (с конечной и бесконечной импульсными характеристиками соответственно).
Оба класса фильтров относятся к классу линейных систем с постоянными параметрами (ЛСПП), в которых входная хn и выходная уnпоследовательности связаны отношениями типа свертки. Если обозначить через hk отклик системы на единичный импульс (импульсную характеристику ЛСПП), то получим свертку вида
|
где хn, уn - отсчеты входного и выходного сигналов; хn-k - входной отсчет, задержанный на k интервалов дискретизации.
|
В КИХ-фильтре отсчет выходного сигнала определяется только значениями входного сигнала, а в БИХ-фильтре - значениями входного и выходного сигналов. Это хорошо видно из линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами, которыми описывается данный класс дискретных систем. В общем виде разностное уравнение, описывающее БИХ-фильтр, имеет вид
где N, М— постоянные целые числа; bk, ak - постоянные коэффициенты, описывающие конкретную систему; хn, уn - отсчеты входного и выходного сигналов.
КИХ-фильтр задается уравнением
|
или иначе
yn =b0хn,+b1хn-1+b2хn-2+... +bnxn-N+1
Таким образом, для построения систем цифровой фильтрации требуется эффективная реализация соотношения типа дискретной свертки, которая раскладывается на операции умножения и накапливающего суммирования, а также операции задержки.
Спектральный анализ. В области спектрального (или гармонического анализа) используются прямое и обратное дискретное преобразование Фурье (ДПФ), а также рациональный способ реализации дискретного преобразования Фурье - быстрое преобразование Фурье (БПФ).
Спектральный анализ основан на известных методах представления данной функции при помощи других функций, которые называются базовыми и свойства которых считаются известными.
Если входная последовательность хрп периодична, то ее можно представить рядом Фурье
|
где хpk- амплитуда гармоники; еjωk n =cosωkn + jsinaωk n- комплексная переменная;
ωк = 2 πк / N - частота спектральной составляющей (гармоники).
|
Учитывая, что еjωk n периодична, ряд Фурье записывается в виде
Данное выражение, описывающее Фурье-образ функции, называется обратным преобразованием.
Для вычисления коэффициентов ряда используется следующее выражение для ДПФ
|
или в более компактной форме
|
Анализ данного выражения показывает, что основными операциями при вычислении выражения являются операции комплексного умножения и суммирования. Трудоемкость прямого вычисления данного выражения велика и возрастает с ростом N.
Для упрощения вычисления ДПФ исходную N/-точечную последовательность разбивают на две более короткие, для которых отдельно вычисляется БПФ, а результаты далее комбинируются для получения окончательного БПФ всей последовательности. Причем деление последовательности может быть многократным.
Если последовательность разбивается на две: одна с четными, а другая с нечетными номерами, то БПФ реализуется с прореживанием по времени (входная последовательность прореживается на каждом этапе разбиения). Если в первой последовательности берутся первые N/2 отсчеты (0,..., N/2),a во второй - вторые N/2 отсчетов, N/2+ 1,..., N). то БПФ реализуется с прореживанием по частоте.
Оценить сложность алгоритмов БПФ, а также их особенности можно из анализа вычислительной схемы, в основе которой лежит операция над двумя точками последовательности.
Элементарная операция (операция «бабочка»), которая определяет двухточечное преобразование, сводится к вычислению выражений:
x = A + BWKN;
y = A - BWKN,
где А, В - входные значения; WKN- коэффициент.
Для получения выходной последовательности в естественном порядке необходимо определенным образом переставить входную последовательность. Перестановка входных элементов состоит в образовании двоичных номеров выходной последовательности путем добавления единицы к старшему разряду с распространением переноса в сторону младших разрядов (вправо). Такая адресация получила название бит-реверсивной.
Вычисление коэффициента WKN=cos[(2π /N)К}-jsin[(2n/N)K] можно осуществлять следующим образом:
• используя подпрограммы или таблицы синуса и косинуса;
• прямым табличным способом (выборкой готовых значений из таблицы);
• используя рекуррентную формулу
WKN= (WK-NL) WLN при W0N=1;
•таблично-алгоритмическим способом, так как на последующих этапах
коэффициенты повторяются.
При использовании алгоритма БПФ с прореживанием по частоте требуется перестановка элементов выходной последовательности, а базовая операция «бабочка» сводится к вычислению выражений:
х = А+В,
y = (A-B) WKN,
Для получения амплитуд и фаз составляющих спектра (гармоник) необходимо также вычислить следующие выражения:
|
где XRe., ХIm - вещественная и мнимая части комплексных коэффициентов.
В гомоморфной обработке сигналов дополнительно требуется вычисление функций
log2 х и 2х.
