1. Обращение матриц. Пусть имеем m систем линейных уравнений с одинаковыми матрицами и разными правыми частями:
Ах = b(1); Ах = b(2); …; Ах = b(m). (2.1)
Применяя метод Гаусса к каждой системе независимо можно найти соответствующие решения: х(1), х(2), …, х(m). Число арифметических операций можно, однако, существенно сократить, если решать все системы одновременно. Основные вычислительные затраты метода Гаусса связаны с преобразованием матрицы системы к треугольному виду. Параллельно с этим происходит и преобразование правых частей. Значит, все векторы b(1), b(2), …, b(m) можно преобразовывать одновременно в процессе прямого хода. Аналогично, при обратном ходе можно одновременно вычислять компоненты решений х(1), х(2), …, х(m).
Пусть необходимо вычислить обратную матрицу к квадратной матрице А. Обозначим Х = А–1. Как известно АХ = I, где I – единичная матрица, в которой по диагонали расположены 1, а остальные элементы – 0. Иными словами, i-й столбец матрицы I равен
(1 на i-м месте). Пусть х(i) – i-й столбец матрицы Х. Тогда, в силу правила умно-жения матриц имеем А х(i) = e(i). Значит, если в формуле (2.1) положить b(i) = e(i), то, решив такую систему, получим, что найденные решения х(1), х(2), …, х(n) являются столбцами матрицы А–1.
2. Вычисление определителей. В процессе преобразования матрицы А к треугольному виду методом Гаусса мы выполняли с ней следующие действия:
1) переставляли строки или столбцы в зависимости от модификации метода;
2) делили ведущую строку на ненулевой ведущий элемент;
3) к строкам матрицы прибавляли ведущую строку, умноженную на некоторое число.
Как известно, при таких преобразованиях определитель матрицы претерпевает соответствующие изменения:
1) изменяет знак;
2) делится на тот же элемент;
3) не меняется.
После прямого хода матрица А будет приведена к верхнему треугольному виду с единицами на главной диагонали. Определитель такой матрицы равен, очевидно, 1. С учетом тех изменений, которые претерпевал определитель матрицы А в процессе преобразований, имеем следующую формулу:
det A = (–1)s × a11 × a22 ×…× an n,
где aj j – ведущие элементы, s – число перестановок строк и/или столбцов при поиске ведущих элементов.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Вручную реализовать метод Гаусса с поиском по строкам (по столбцам, по всей матрице) для данной системы уравнений
и выполнить следующие задания
1) Решить систему уравнений
2) Вычислить определитель матрицы данной системы.
3) Обратить матрицу системы.
В дальнейшем используйте результат решения данной задачи в качестве тестового примера.
2. Составить программу решения линейной системы методом Гаусса (с поиском по строкам, по столбцам, по всей матрице) и выполнить обращение матриц с использованием этой программы.
1. 6. 11.
2. 7. 12.
3. 8. 13.
4. 9. 14.
5. 10. 15.
16.
