Диференціювання функцій, заданих неявно

4.1. Рівняння задає неявно функцію , на інтервалі , якщо для всіх виконується рівність .

Для обчислення похідної функції треба продиференціювати по тотожність , пам'ятаючи, що є функція від , а потім отримане рівняння розв’язати відносно .

4.2. Приклади. а) Знайти значення у точці для функції, заданої неявно рівнянням .

Розв’язання. Диференціюючи по обидві частини даного рівняння та вважаючи при цьому, що є функцією від , одержуємо:

,

звідки: .

Знаходимо значення у точці :

.

б) Знайти величину кута між дотичними, проведеними в точках перетину кривої з віссю . Зробити креслення.

Розв’язання. За аналогією з попереднім прикладом, знаходимо:

(*)

Точки перетину даної кривої із прямою знаходимо з розв’язку наступної системи:

Таких точок дві: і .

Враховуючи, що , , знаходимо згідно з (*) кутовий коефіцієнт дотичної до даної кривої в точці А:

.

Аналогічно знаходимо кутовий коефіцієнт дотичної в точці В:

.

Кут задовільняє рівності , отже , звідки 126055.

Перш ніж зробити креслення, перетворимо початкове рівняння кривої у рівняння , що визначає коло із центром у точці та радіусом (рис. 4.3).

Рис. 4.3

 

Завдання 4. Знайти значення у точці для функцій, заданих неявно.

 

1.	5 x 2 + 3 xy – 2 y 2 + 2 = 0	M (0; 1)
2.	x 3 – 2 x 2 + y 2 = 0	M (1; 1)
3.	x 2 + xy + y 2 = 7	M (–1; –2)
4.	2 x 3 – xy + y – 2 = 0	M (1; 5)
5.	x 3 + y 3 – 3 xy + 1 = 0	M (–2;1)
6.	3 x 2 – xy + y – 3 = 0	M (1; –2)
7.	x 2 + 2 y 2 + 6 x – 4 y – 13 = 0	M (1; –1)
8.	3 x 2 – 5 y2 – 6 x – 20 y + 25 = 0	M (2; 1)
9.	4 x 2 + y 2 + 8 x – 4 y + 3 = 0	M (0; 1)
10.	x 3 – 2 x 2 y 2 + 5 x + y – 5 = 0	M (1; 1)
11.	2 x 2 – 9 y 2 + 4 x + 18 y + 11 = 0	M (2; –1)
12.	x 3 – xy + y + 7 = 0	M (–1; –3)
13.	x 2 + y 2 – 4 x – 10 y + 19 = 0	M (3; 2)
14.	x 4 – y 2 – y – 1 = 0	M (1; 0)
15.	x 3 + 2 xy 2 + y + 11 = 0	M (–1; –2)
16.	x 3 + x 2 y + y 2 –13 = 0	M (1; 3)
17.	x 3 + 5 xy + y 3 – 7 = 0	M (1; 1)
18.	x 2 + 5 xy + y 2 – 2 x + y – 6 = 0	M (1; 1)
19.	3 x 2 – xy + y 3 – x = 0	M (0; 2)
20.	x 6 + y 6 – 2 xy = 0	M (1; 1)
21.	x 2 + x 2 y – y 2 – y = 0	M (1; 1)
22.	x 4 – 6 x 2 y 2 + 9 y 2 – 5 x 2 + 15 y 2 + 4 = 0	M (2; 1)
23.	7 x 2 + xy – y 3 + 3 = 0	M (1; –2)
24.	x 2 y 2 + xy + x 2 – 7 = 0	M (1; 2)
25.	2 x 5 + y 5 – 2 xy + 26 = 0	M (1; –2)
26.	x 5 + y 5 – 2 xy = 0	M (1; 1)
27.	3 x 2 – xy + y 2 + x – 34 = 0	M (–2; 4)
28.	x 2 + 2 xy 2 + 3 y 4 –6 = 0	M (1; –1)
29.	x 2 – x 2 y + y 2 = 13	M (–1; –3)
30.	x 2 y 2 – 4 y 3 – x = 4	M (0; –1)

Завдання 5. Знайти величину кута між дотичними, проведеними в точках перетину кривої з віссю . Зробити креслення.

1.	x 2+ y 2 + 2x + 2y –3 = 0.	2.	x 2 + y 2 – 2x + 4y –3 = 0.
3.	x 2 + y 2 + 10x + 9 = 0.	4.	x 2 + y 2 + 6x + 6y + 8 = 0.
5.	x 2 + y 2 + 4x + 2y + 3 = 0.	6.	x 2 + y 2 + 4x – 2y – 4 = 0.
7.	x 2 + y 2 + 6x – 6y + 8 = 0.	8.	x 2 + y 2 + 4x – 4y + 3 = 0.
9.	x 2 + y 2 + 6x + 2y + 1 = 0.	10.	x 2 + 6x + y 2 – 2y + 1 = 0.
11.	x 2 + 10x+ y 2 – 6y +16 = 0.	12.	x 2 + y 2 + 14x + 40 = 0.
13.	x 2 + y 2 – 6x – 2y + 6 = 0.	14.	x 2 + y 2 – 10 x+ 9 = 0.
15.	x 2 + y 2 + 10x + 6y + 16 = 0.	16.	x 2 + y 2 – 4x + 2y + 3 = 0.
17.	x 2 + y 2 – 2x + 4y – 20 = 0.	18.	x 2 + 6x + y 2 – 2y + 6 = 0.
19.	x 2 + y 2 – 4y – 4 = 0.	20.	x 2 – 6x + y 2 – 6y + 8 = 0.
21.	x 2 + y 2 – 14x + 40 = 0.	22.	x 2 + y 2 – 2x + 6y – 6 = 0.
23.	x 2 + y 2 – 6x + 6y + 8 = 0.	24.	x 2 + y 2 – 6x + 2y + 1 = 0.
25.	x 2 + 4x + y 2 – 2y + 3 = 0.	26.	x 2 + 4x + y 2 + 2y – 4 = 0.
27.	x 2 + y 2 + 4x – 4 = 0.	28.	x 2 + y 2 + 2x – 2y – 4 = 0.
29.	x 2 + 4x + y 2 – 2y – 3 = 0.	30.	x 2 + y 2 + 2x + 4y – 4 = 0.

ПРАВИЛО ЛОПІТАЛЯ

5.1. При розкритті невизначеностей , крім класичних методів обчислення границь, у багатьох випадках можна користуватися правилом Лопіталя: якщо або й існує границя відношення їх похідних , то .

Це правило справедливе й у випадку, коли .

Приклад 1. Застосовуючи правило Лопіталя, знайти границі:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання. Переконавшись, що має місце випадок або , застосовуємо правило Лопіталя.

а) ,

б) .

Тут двічі було застосовано правило Лопіталя й використана перша чудова границя.

в) .

5.2. При розкритті невизначеностей для застосування правила Лопіталя, початковий вираз необхідно перетворити до невизначеностей виду або шляхом алгебраїчних перетворень.

Приклад 2. Знайти границі: а) ; б) .

Розв’язання: а) Маємо невизначеність . Наведемо цю невизначеність до невизначеності , а потім застосуємо правило Лопіталя:

.

б) Маємо невизначеність . Перетворимо початковий вираз до невизначеності , після чого застосуємо правило Лопіталя: .

5.3. При розкритті невизначеностей , , рекомендується знайти попередньо границю логарифма шуканої функції.

Приклад 3. Обчислити .

Розв’язання. Маємо невизначеність . Введемо позначення , тоді . . Одержали , застосовуємо правило Лопіталя: . Тому що . Отже .

 

Завдання 6. Обчислити границі, використовуючи правило Лопіталя.

1.	а) ,	б) .
2.	а) ,	б) .
3.	а) ,	б) .
4.	а) ,	б) .
5.	а) ,	б) .
6.	а) ,	б) .
7.	а) ,	б) .
8.	а) ,	б) .
9.	а) ,	б) .
10.	а) ,	б) .
11.	а) ,	б) .
12.	а) ,	б) .
13.	а) ,	б) .
14.	а) ,	б) .
15.	а) ,	б) .
16.	а) ,	б) .
17.	а) ,	б) .
18.	а) ,	б) .
19.	а) ,	б) .
20.	а) ,	б) .
21.	а) ,	б) .
22.	а) ,	б) .
23.	а) ,	б) .
24.	а) ,	б) .
25.	а) ,	б) .
26.	а) ,	б) .
27.	а) ,	б) .
28.	а) ,	б) .
29.	а) ,	б) .
30.	а) ,	б) .

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1.	Берман Г.Е. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977. – 456 с.
2.	Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Сравочник по математике для инженеров и студентов ВУЗов. – М.: Наука, 1986. – 544 с.
3.	Бубняк Т.І. Вища математика: Навчальний посібник. – Львів: «Новий світ-2000», 2004. – 434 с.
4.	Вища математика: Підручник: У 2 кн. – 2-ге вид., перероб. і доп. – К.: Либідь, 2003. – Кн. 1. Основні розділи / Г.Й. Призва, В.В. Плахотник, Л.Д. Гординський та ін.; за ред. Г.Л. Кулініча. – 400 с.
5.	Вища математика. Основні означення, приклади і задачі. Ч. 1, 2. – К.: Либідь, 1992. – 349 с.
6.	Глушков П.М., Шунда Н.М. Диференціальне числення фукнцій однієї змінної. – К.: Вища шк., 1991. – 343 с.
7.	Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1,2 – М.: Высш. шк., 1980. – 320 с.
8.	Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1966. – 269 с.
9.	Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. – Харьков.: Изд-во ХГУ, 1967. – 236 с.
10.	Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1969. – 123 с.
11.	Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. – М.: Высш. шк., 1986. – 296 с.
12.	Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1969. – 350 с.
13.	Овчинников П.Ф., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Высшая математика. Ч.1, 2. – К.: Вища шк., 1987, 1989. – 551 с.
14.	Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление, т.1, 2. – М.: Наука, 1982. – 294 с.
15.	Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П. Курс высшей математики. – М.: Высш. шк., 1987. – 320 с.