Matice řádu n
- s n řádky a n sloupci
A =
Hlavní a vedlejší diagonála matice
 |
| a11 | a12 | a13 | a14 |
| a21 | a22 | a23 | a24 |
| a31 | a32 | a33 | a34 |
vedlejšíhlavní
diagonála diagonála
Nulová matice typu (m,n)
A =
Jednotková matice řádu n
 |
E n =
Kdy se dvě matice A a B rovnají?
A = B, jestliže jsou obě matice stejného typu (m, n)
a navíc
aij = bij pro i = 1, 2,..., m
j = 1, 2,..., n
Maticové operace
Sčítání matic A, B matice typu (m, n)
A + B =
Násobení matice reálným číslem
r ∈ R, matice A typu (m,n)
r. A =
věta (o vlastnostech maticových operací):
Nechť A, B a C jsou matice typu (m, n), r, s ∈ R.
Pak platí
1) A + B = B + A, komutativní z.
2) A + (B + C) = (A + B) + C, asociativní z.
3) r(A + B) = r A + r B, distributivní z.
4) (r + s) A = r A + s A, distributivní z.
5) r(s A) = (rs) A.
věta:
Množina R mxn všech matic typu (m, n) spolu s operacemi sčítání matic a násobení matice reálným číslem tvoří vektorový prostor dimenze mn.
Hodnost matice
definice:
Hodností matice A typu (m, n) rozumíme dimenzi podprostoru R ngenerovaného řádkovými vektory matice A. Hodnost matice A označíme h(A).
Poznámka. Hodnost matice je rovna nejvyššímu počtu lineárně nezávislých řádku matice. Hodnost nulové matice h(O) = 0.
definice:
Řekneme, že matice T typu (m, n) je trojúhelníková matice, jestliže m≤n a pro prvky matice T platí
tij = 0 pro j < i a tii ≠ 0 pro i = 1,, m.
věta:
Je-li matice T typu (m,n) trojúhelníková matice, pak
h(T)=m
Vzpomeň si na větu o ekvivalentních úpravách skupiny generátorů!!
Postup při hledání hodnosti matice A:
1) ekvivalentní úpravy
A ------------------------------> T
2) spočítej počet řádků matice T
definice:
Nechť A je matice typu (m, n). Transponovanou maticí k matici A nazveme matici A Ttypu (n, m) pro kterou platí, že i-tý řádek matice A je i-tým sloupcem matice A T.
|
|
|
věta:
Nechť A T je transponovaná matice k matici A, pak platí
h(A) = h(A T).
Poznámka. Označme r 1, r 2,..., r m řádkové vektory, resp. s 1, s 2,..., s n sloupcové vektory matice A. Označme R (A) podprostor R n generovaný řádkovými vektory matice A a analogicky označme S (A) podprostor R m generovaný sloupcovými vektory matice A.
Právě uvedená věta tvrdí, že
dim R (A) = dim S (A).
Prostor R (A) nazýváme řádkovým modulem a prostor S (A) sloupcovým modulem matice A.
Metodu určení hodnosti matice lze velmi dobře použít ke zjišťování lineární závislosti, resp. nezávislosti skupiny vektorů.
