Больше полуокрж- если угол неразвёрнутый с наружи

11) вписанный угол- угол,вершина которого лежит на окружности а стороны пересекают окружность.

Теормема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Док-во:

Луч ОВ совпадет с 1 из сторон угла АВС например со стороноц ВС. В этом случае дуга АС меньше полуокружности поэтому угол АОС равен дуге АС. Так как угод АОС – внешний угол равнобедренного треугольника АВО а углы 1 и 2 при осоновании равны. Угол АОС – 1+2=2 угол1

Следует 2угол1= дуге АС (рис 218 стр 171)

12)вписанные углы опирающиеся на 1 и ту же дугу равны.

13) вписанный угол опирающийся на полуокружность- прямой.

14) если 2 хорды окружности пересекаются то произведение отрезков 1 хорды равно произмедению отрезвок другой хорды.

15) каждая точка биссектрисы неразвёрнутуго угла равноудалена от его сторон. (каждая точка лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла лежит на его биссектрисе.)

Дак-во:

1.Возьмём произвольную точку М на биссектрисе угла ВАС проведём перпендикуляры МК и МLрассмотрим прямоугольные треугольники АМК и АМL они равны по гепотинузе угол 1 = 2 поусловию. Следоватльно МК= МL(рис 224 стр176)

2.пусть точка М лежит внутри угла ВАС и равноудалена от его сторон АВ и АС. Докажем что луч АМ биссектриса угла ВАС. Проведём перпендикуляры МК и МL к прямым АВ и АС. Прямоугольльные треугольники АМК и АМL равны по катету и гепотенузе. Следоватльно 1 = 2.это и значит что луч АМ биссектриса угла ВАС(рис 224 стр 176)

16) биссектрисы треугольника пересекаются в 1 точке(стр 177 рис 225)

 

 

17) прямая проходящаая через середину данного отрезка и перпендикулярна к нему.

18) каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.(каждая точка равноудалена от концов отрезка лежит на середнинном перпендикуляре к нему.

Док-во:

Пусть прямая м – серединный перпендикулярк отрезку АВ точка О- середина этого отрезка

1)рассмотрим произовльную точку М прямой м и докажем что АМ=ВМ. Если точка М совпадает с точкой О то это равенство так как О- середина отрезка АВ. Пусть М и О различные точки. Прямоугольные треугольники ОАМ и ОВМ равны по 2 катетам поэтому АМ= ВМ.(рис 227 а стр 178)

2)произвольная точка N равноудалённую от концов отрезка АВ и докажем что точка N лежит на прямой м. если N точка прямой АВ то она совпадает с серединой О отрезка АВ и потому лежит на прямой м. если же точка N на прямой АВ то треугольник NАВ равнобедренный. Тк NА=ВN. отрезков NО медиана этого треугольника, а значит и высота. Таким образом NО перпенидкулярна АВ поэтому прямые ОN и м совпадают. N- точка прямой м.(рис 227 б стр 178)

 

 

19)серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в 1 точке

Док-во:

По доказанной теореме ОВ = ОА и ОС=ОВ.поэтому ОА= ОС те точка О равноудалена от концов отрезка АС и значит лежит на серединном перпендикуляре р к этому отрезку. Следователно все 1 серединных перпендикуляра m,n,p к сторонам треугольника АВС пересекаются в точке ОГ.(рис 228 стр 178)

 

20)высоты треугольника(или их продолжение) пересекаются в 1 точке.

Док-во:

Проведём через каждую вершину треугольника АВС прямую. Параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А2В2С2. Точки А В С являются серединными сторон этого треугольника. Действительно АВ=А2С и Ав=СВ2 как противоположные стороны параллелограммов АВА2С и АВСВ поэтому А2С =СВ2.кроме того как следует из построения СС1 перпендикулярно А2В2,АА1перпендикулр В2С2 и ВВ1 перпнд А2С2. Таким обарзом прямые АА1 ВВ1 СС1 являются серединными перпендикулярами к сторона теугольника А2В2С2.следоватлно они пересекаются в 1 тточке.(рис 229 стр 179)

 

 

21) если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник а многоугольник- описанным около этой окружности.

22) в любой треугольник можно вписать окружность.

23)в любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны тов него можно вписать окружность.

24)если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется описанной около многоугольника а многоугольник- вписанным в эту окружность.

25)около любого треугольника можно описать окружность.

26)в любом вписанном четырёхуггольнике сумма противоположных углов равна 180.

Если сумма противоположных углов 180 то около него можно описать окружность

 

Удачно сдать зачет!