Наша з а д а ч а - найти функцию u (x,t), график которой дает форму струны в любой момент времени t, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:
(2)
и начальных условиях:
(3)
Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u (x, t) 
0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u (x,t)= X (x) T (t), (4), где 
, 
.
Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:
Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:
Используя это условие X (0)=0, X (l)=0, докажем, что 
отрицательное число, разобрав все случаи.
a) Пусть 
Тогда X ”=0 и его общее решение запишется так:
откуда 
и 
,что невозможно, так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.
б) Пусть 
. Тогда решив уравнение
получим 
, и, подчинив, найдем, что 
в) 
Если 
то
Уравнения имеют корни:
получим:
где 
-произвольные постоянные. Из начального условия найдем:
откуда 
, т. е.
(n =1,2,...)
(n =1,2,...).
Учитывая это, можно записать:
(n=1,2,...).
и, следовательно
, (n =1,2,...),
но так как A и B разные для различных значений n то имеем
, (n =1,2,...),
где 
и 
произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).
Итак, подчиним функцию u (x,t) начальным условиям, т. е. подберем 
и 
так, чтобы выполнялись условия
Эти равенства являются соответственно разложениями функций 
и 
на отрезки [0, l ] в ряд Фурье по синусам. (Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой
где
(n =1,2,...)
Интеграл Фурье
Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.
Для того, чтобы f (x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:
1) абсолютной интегрируемости на 
(т.е. интеграл сходится)
2) на любом конечном отрезке [- L, L ] функция была бы кусочно-гладкой
3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f (x)
Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:
, где 
,
.
Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
Пусть f (x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.
Учитывая, что 
, а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x =0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:
(3)
Таким образом, интеграл Фурье четной функции f (x) запишется так:
,
где a (u) определяется равенством (3).
Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f (x):
(4)
и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:
,
где b (u) определяется равенством (4).
Комплексная форма интеграла Фурье
, (5)
где
.
Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f (x).
Если в формуле (5) заменить c (u) его выражением, то получим:
, где правая часть формулы называется двойным интегралом
Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу
в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:
Формулы дискретного преобразования Фурье
Обратное преобразование Фурье.
где n =1,2,..., k =1,2,...
Дискретным преобразованием Фурье - называется N -мерный вектор 
при этом, 
.
