Основные сведения
Функция f (x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число 
, что при любом значении х выполняется равенство 
. Число Т называется периодом функции.
Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:
1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.
2) Если функция f (x) период Т, то функция f (ax)имеет период 
.
3) Если f (x)- периодическая функция периода Т, то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство 
.
Тригонометрический ряд. Ряд Фурье
Если f (x) разлагается на отрезке 
в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:
(1)
,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:
, где n =1,2,...
Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а 
коэффициентами ряда Фурье.
Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье
Точка 
разрыва функции 
называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.
ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом 
функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [ 
] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f (x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f (x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).
ТЕОРЕМА 2. Если f (x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [ ] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f (x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).
Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Пусть f (x) - четная функция с периодом 2 L, удовлетворяющая условию f (- x) = f (x).
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
= 
= 
= 0 
, где n =1,2,...
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2 L выглядит так:
Пусть теперь f (x) - нечетная функция с периодом 2 L, удовлетворяющая условию f (- x) = - f (x).
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
, где n =1,2,...
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2 L выглядит так:
Если функция f (x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то 
, где 
,
,
,
Если f (x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0 ,L ], то доопределив заданную функцию f (x) соответствующим образом на [- L, 0]; далее периодически продолжив на (T =2 L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.
Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [ a, b ], надо: доопределить на [ b, a +2 L ] и периодически продолжить, либо доопределить на [ b -2 L, a ] и периодически продолжить.
