Обработка эксперимента по критерию Пирсона

Проверка статистической гипотезы по критерию c² Пирсона проводится в следующей последовательности:

1. Просматривая полученную по измерениям выборку , находят наибольшее – и наименьшее – значения случайной величины. Разность между наибольшим и наименьшим значениями называется размахом выборки.

2. Найденный размах делится на определенное число интервалов k равной длины, которое рекомендуется выбирать так, чтобы в каждый интервал были бы попадания выборки.

3. Определяется ширина интервала h = .

4. Отмечается повторяемость результатов испытания по интервалам, т. е. числа попаданий - измеренных значений x в каждый интервал (см. табл.1).

5. По полученной выборке определяются - оценки неизвестных параметров теоретического закона распределения. Так как используется нормальный закон распределения, то

, (13)

где:

a = M (x) – математическое ожидание случайной величины х,

² = D (x) – дисперсия.

 

Таблица 1

Результаты эксперимента

 

№ интерв	Нижняя граница интервала	Верхняя граница интервала	Середина интервала	Число попаданий в интервал	Частота попаданий в интервал
	-7.65	-6.63	-7.14		0.03
	-6.63	-5.61	-6.12		0.08
…	…	…	…	…	…

 

 

Статистические оценки математического ожидания – среднее значение ` x и корня квадратного из дисперсии – среднеквадратическое отклонение определяются по известным формулам:

= , (14)

 

= . (15)

6. Дальнейшие расчеты ведутся с помощью табл. 2, в которой определяются числа попадания в интервалы разбиения (см. табл.1) для случая нормального закона распределения (13) с параметрами, вычисленными в п. 5. Вместо рассмотрения случайной величины - середины i - го интервала используется центрированная и нормированная величина = (см. табл. 2), которая подчиняется нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией: f(t_i) = , где i = 1, 2, …, k. (16)

Этот закон распределения называется функцией Лапласа, значения этой функции могут быть взяты из статистических таблиц (см. табл. П.1.).

 

.

Таблица 2

 

Определение числа попаданий в заданные интервалы для нормального закона распределения

№	Середина интервала xi	xi -		f(ti)	Вероятность попадания в интервал	npi
	-7.14	-5.69	-2.17	0.0379	0.0144	1.44
	-6.12	-4.67	-1.78	0.0818	0.0312	3.12
…	…	…	….	…	…	…

 

В табл. 2 величина p_i – вероятность попадания случайной величины x в i –ый интервал подсчитана по приближенной формуле

p_i @ f(t_i).

. 7. Вычисляется значение по формуле (5).

8. Находится число степеней свободы S = k – r - 1,

где r - число параметров в нормальном законе распределения (r = 2).

9. Пользуясь таблицей c²-распределения (см. табл.П.3), по известным значениям S и проверяется выполнение критерия (6) и принимается решение о том, согласуются или нет эмпирические и теоретические кривые.