Доказать теорему о предельном переходе в неравенствах для числовых последовательностей

Теорема о предельном переходе в неравенствах.

Пусть f(x) и g(x), x→R (множество действительных чисел) а – предельная точка множества Х. Пусть любой х ϵ Х; f(x) ≤ g(x). Пусть lim_x→a f(x) = A, lim_x→a g(x) = B тогда А≤В.

Доказательство.

Возьмем {X_n}, х ϵ Х, X_n ≠ а, X_n→а. По условию f(X_n)→A, g(X_n)→B. Любой n f(X_n)≤ g(X_n). Откуда по теореме о предельном переходе в неравенствах для последовательностей вытекает, что А≤В.

Билет 15.

Доказать второй замечательный предел и вывести следствия из доказанного предела.

Второй замечательный предел имеет вид:

или в другой записи .

Доказательство. Для доказательства потребуется 1) теорема Вейерштрасса: Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет конечный предел; 2) формула бинома Ньютона: (a+b)ⁿ=aⁿ • na^n-1b+n(n-1)a^n-2b²+(n(n-1)(n-2)/2•3) • a^n-3b³+(n(n-1)(n-2)(n-3)/2•3•4) •a^n-4b⁴… + …

Рассмотрим числовую последовательность:

X_n=(1+1/n)ⁿ, n=1,2,3,4,…

Проверим монотонность и ограниченность: х₁=2; х₂=2,25; х₃=2,37; х₄=2,44. {х_n} – возрастает.

 

0 2 2,25 2,37 2,44

x_n≥2→ она ограничена снизу.

Докажем, что данная функция ограничена сверху. К данной последовательности применяется формула бинома Ньютона.

Пусть а=1, b=1 X_n = 1-n • 1/n + (n(n-1)/2) • (1/n)² + (n(n-1)(n-2)/2•3) • (1/n)³…

X_n = 2+1/2 • (1-1/n) + 1/2•3 + 1/2•3•4 • (1-1/n) • (1-2/n) • (1-3/n) + …

(n – 1)/n = n/n – 1/n = 1 – 1/n ((n – 1)(n – 2))/(n • n) = (1 – 1/n)(1 – 2/n) → заметим что скобка < 1.

Заменяем скобки единицами получим: X_n<2+1/2+1/2•3+1/2•3•4

В полученных дробях меняем все цифры на 2 кроме числителя: X_n < 2 + 1/2 + 1/2•2 + 1/2•2•2 b₁=1/2 q=1/2 получается бесконечно убывающая прогрессия. S = b₁/1-q

Существует конечный предел, который обозначается числом е .

Билет 16.

Дать определения предела функции в точке и односторонних пределов в точке. Дать определение непрерывности функции в точке и вывести правило о предельном переходе под знаком непрерывной функции.

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Односторонний предел в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (пределом справа).

Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки Х₀, называется непрерывной в точкеХ₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

lim f(x) = f(X₀) Пример непрерывной функции.

Билет 17.

Дать определения б.м. и б.б. функций. Доказать, что если , то , где – б.м. функция при .

Функция y=f(x) называется б.м. при х→х₀, если lim f(x)=0. Функция y=f(x) называется б.б. при х→х₀, если lim f(x)=∞.

Если функция y=f(x) имеет конечный предел равны: А при х→х₀, то ее можно представить в виде суммы этого предела и бесконечно малой функции. Другими словами, если функция при х→х₀.

{f(x) = A+α(x), lim α(x)=0}.

Доказательство. По условию теоремы - . Обозначим|f(x)-A|=α(x). limα(x)=0, то есть α(х) – является бесконечно малой при х→х₀.

Итак: f(x) – A = α(x); limα(x)=0, то есть f(x) = A + α(x), где α(х) – является бесконечно малая функция.

 

Билет 18.