Теорема о предельном переходе в неравенствах.
Пусть f(x) и g(x), x→R (множество действительных чисел) а – предельная точка множества Х. Пусть любой х ϵ Х; f(x) ≤ g(x). Пусть limx→a f(x) = A, limx→a g(x) = B тогда А≤В.
Доказательство.
Возьмем {Xn}, х ϵ Х, Xn ≠ а, Xn→а. По условию f(Xn)→A, g(Xn)→B. Любой n f(Xn)≤ g(Xn). Откуда по теореме о предельном переходе в неравенствах для последовательностей вытекает, что А≤В.
Билет 15.
Доказать второй замечательный предел и вывести следствия из доказанного предела.
Второй замечательный предел имеет вид: 
или в другой записи 
.
Доказательство. Для доказательства потребуется 1) теорема Вейерштрасса: Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет конечный предел; 2) формула бинома Ньютона: (a+b)n=an • nan-1b+n(n-1)an-2b2+(n(n-1)(n-2)/2•3) • an-3b3+(n(n-1)(n-2)(n-3)/2•3•4) •an-4b4… + …
Рассмотрим числовую последовательность:
Xn=(1+1/n)n, n=1,2,3,4,…
Проверим монотонность и ограниченность: х1=2; х2=2,25; х3=2,37; х4=2,44. {хn} – возрастает.
0 2 2,25 2,37 2,44
xn≥2→ она ограничена снизу.
Докажем, что данная функция ограничена сверху. К данной последовательности применяется формула бинома Ньютона.
Пусть а=1, b=1 Xn = 1-n • 1/n + (n(n-1)/2) • (1/n)2 + (n(n-1)(n-2)/2•3) • (1/n)3…
Xn = 2+1/2 • (1-1/n) + 1/2•3 + 1/2•3•4 • (1-1/n) • (1-2/n) • (1-3/n) + …
(n – 1)/n = n/n – 1/n = 1 – 1/n ((n – 1)(n – 2))/(n • n) = (1 – 1/n)(1 – 2/n) → заметим что скобка < 1.
Заменяем скобки единицами получим: Xn<2+1/2+1/2•3+1/2•3•4
В полученных дробях меняем все цифры на 2 кроме числителя: Xn < 2 + 1/2 + 1/2•2 + 1/2•2•2 b1=1/2 q=1/2 получается бесконечно убывающая прогрессия. S = b1/1-q
Существует конечный предел, который обозначается числом е 
.
Билет 16.
Дать определения предела функции в точке и односторонних пределов в точке. Дать определение непрерывности функции в точке и вывести правило о предельном переходе под знаком непрерывной функции.
Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Односторонний предел в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (пределом справа).
Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки Х0, называется непрерывной в точкеХ0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
lim f(x) = f(X0) 
Пример непрерывной функции.
Билет 17.
Дать определения б.м. и б.б. функций. Доказать, что если 
, то 
, где 
– б.м. функция при 
.
Функция y=f(x) называется б.м. при х→х0, если lim f(x)=0. Функция y=f(x) называется б.б. при х→х0, если lim f(x)=∞.
Если функция y=f(x) имеет конечный предел равны: А при х→х0, то ее можно представить в виде суммы этого предела и бесконечно малой функции. Другими словами, если функция при х→х0.
{f(x) = A+α(x), lim α(x)=0}.
Доказательство. По условию теоремы - . Обозначим|f(x)-A|=α(x). limα(x)=0, то есть α(х) – является бесконечно малой при х→х0.
Итак: f(x) – A = α(x); limα(x)=0, то есть f(x) = A + α(x), где α(х) – является бесконечно малая функция.
Билет 18.
