Решение систем методом Крамера

Одно из основных заданий на экзаменах - решение системы уравнений. На мой взгляд, самый простой способ - метод Крамера. Чтобы научиться решать этим способом необходимо уметь находить определитель матрицы, ну и конечно же знать элементарную математику.

Постараюсь метод Крамера объяснить подробно, по минимуму говоря математическим языком, использованиеформулы Крамера при решении систем уравнений.

Записьформулы Крамера запоминается легко, наверное потому, что запоминать вроде и нечего:

Итак, формулы позволяют рассчитать те переменные, которые Вам требуется найти в системе уравнений. В каждой системе может быть разное количество переменных, начиная с двух. Я написала всего три формулы, соответственно для трех неизвестных х, y и z.

Почему именно для трех? Наверное потому, что чаще всего предлагают системы уравнений с тремя неизвестными, хотя встречаются и с другим количеством. Если в уравнении будет две неизвестные, то формулы Крамера будет только две: для х и y; если четыре неизвестные, то формулы Крамера будет четыре: x,y,z и, например, g. Кстати, в уравнениях могут быть и другие переменные, a,b,c,d... алфавит то большой.

Давайте разберемся, что делать дальше с этими формулами.

Давайте сначала обратимся к знаменателю: там во всех формулах стоит одно и то же - ∆. В статье определитель матрицы, я уже рассказывала о том, как обозначают определители. Итак, знаменатель формулы - это определитель основной матрицы, которую составляют из коэффициентов системы уравнений.

Давайте на примере системы уравнений составим определитель основной матрицы:

Для этого выписываем коэффициенты: первое уравнение системы имеет при переменной х коэффициент 1, при y - коэффициент -1, при z - коэффициент 2. Записываем все эти коэффициенты в первую строку определителя основной матрицы, коэффициенты второго уравнения во вторую строку (обратите внимание второе уравнение не содержит переменной z, значит во второй строке определителя на третьем месте ставим ноль, коэффициенты третьего уравнения - в третью строку. Определитель готов. Следующий шаг: рассчитать определитель по формуле Саррюса или по теореме Лапласа.

Мы воспользуемся формулой Саррюса или правилом треугольника:

Важно: определитель не должен равняться нулю, т.к. в формулах Крамера он стоит в знаменателе, а как известно всем, на ноль делить нельзя!

В нашем случае он равен 17, значит переходим к следующему шагу.

Теперь найдем: ∆_х. Для этого в столбец, где стоит переменная х, а значит в первый столбец, вместо коэффициентов при х, ставим свободные коэффициенты, которые в системе уравнений стоят в правых частях уравнений:

Аналогично найдем ∆_y. Для этого в столбец, где стоит переменная y, а значит во второй столбец, вместо коэффициентов при y, ставим свободные коэффициенты, которые в системе уравнений стоят в правых частях уравнений:

Аналогично найдем ∆z_. Для этого в столбец, где стоит переменная z, а значит втретий столбец, вместо коэффициентов при z, ставим свободные коэффициенты, которые в системе уравнений стоят в правых частях уравнений:

Ну вот и нашли все что необходимо знать в формулах Крамера. Остается подставить найденное в эти формулы: