б) Если N - нечетно, то в точке у функции g(x) экстремума нет

 

 

Теорема 1. (Теорема Ролля) Пусть функция f (x)

1. непрерывна на отрезке [ a, b ];
2. дифференцируема в интервале (a, b);
3. на концах отрезка [ a, b ] принимает равные значения.

Тогда существует точка c Î (a, b) такая, что f '(c) = 0.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 118.

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля

Из теоремы Ролля следует, что существует точка с Î (a, b), в которой касательная к графику функции f (x) параллельна оси О X (рис. 1).

Теорема 2. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f (x)

1. непрерывна на отрезке [ a, b ];
2. дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с Î (a, b) такая, что

 

f (b) − f (a) = f '(c) · (b − a).

(1)

 

Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 119.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа

Представим формулу (1) в виде

 

f (b) − f (a) b − a = f '(c).

(2)

 

Число

f (b) − f (a)

b − a

есть угловой коэффициент прямой, проходящей через концы графика функции y = f (x) — точки (a, f (a)) и (b, f (b)), а f '(c) — угловой коэффициент касательной к этому графику в точке
(c, f (c)). Из формулы (2) следует, что существует точка с Î (a, b), в которой касательная к графику функции f (x) параллельна прямой, проходящей через концы графика (или совпадает с ней) (рис. 2).

График функции y = f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y = f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Особый интерес представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую.

Если обозначим через d расстояние от точки M кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность.

Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные.

 

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ

Пусть при x → x₀ с какой-либо стороны функция y = f(x) неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е. или или . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x₀ является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая x = x₀ является асимптотой, т. о. .

Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x → x₀ – 0 или x → x₀ + 0, x = x₀

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x₀, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x₀.

Примеры.

1. Найти вертикальные асимптоты графика функции .

Так как , то прямая x = 2 является вертикальной асимптотой.

1. .

Прямая x = 0 – вертикальная асимптота.

НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ

Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b.

Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.

Доказательство. Пусть MP – длина отрезка, равного расстоянию от точки M до асимптоты. По условию . Обозначим через φ угол наклона асимптоты к оси Ox. Тогда из ΔMNP следует, что . Так как φ постоянный угол (φ ≠ π/2), то , но

MN = MK – NK = y - y _ас = f(x) - (kx+b).

Следовательно, мы можем записать следующее равенство .

Так как x → +∞, то должно выполняться равенство . Но при постоянных k и b и . Следовательно, , т.е. .

Если число k уже известно, то , поэтому .

Для доказательства в случае x → –∞ все рассуждения аналогичны.

Докажем обратное утверждение. Предположим, что существуют пределы, определяющие числа k и b. Тогда несложно заметить, что выполняется равенство . Действительно

Следовательно, прямая y = kx + b есть асимптота. Теорема полностью доказана.

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет.

Замечание 2. В случае, когда k = 0 асимптота y = b называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что существуют пределы

.

Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при x → +∞ и x → – ∞ и, следовательно, график функции может иметь две различные асимптоты при x → +∞ и x → –∞.

Примеры. Найти асимптоты кривых.

1. .
1. Вертикальные:

x = 0 – вертикальная асимптота.

1. Наклонные:

.

При x → - ∞ получим те же значения k и b. Следовательно, прямая y = x + 2 является наклонной асимптотой.

1. y = e ^{– x} sin x + x.
1. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, следовательно, вертикальных асимптот нет.

а) .

Итак, при x → +∞ наклонная асимптота у = х.

б) , т. к.

, поэтому при x → - ∞ наклонных асимптот нет.

1. y = x – 2arctg x.
1. Вертикальных асимптот нет.

а) .

. Наклонная асимптота y = x – π при .

б) при .

 

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность
типа или .

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

· Если и , то ;

· Если и , то аналогично .

·
Вычислить предел .

·
Решение.

· Дифференцируя числитель и знаменатель, находим значение предела:

·

· Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X, который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком .

В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y = f(x).

Кратко остановимся на основных определениях.

Наибольшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Наименьшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .