Экстремумы функции
Определение 1. Точка 
называется точкой максимума [ точкой минимума ] функции 
, если существует такая 
- окрестность 
точки , что для всех значений 
из этой окрестности выполняется неравенство 
.
Определение 2. Значение функции в точке максимума (точке минимума) называется максимумом (минимумом) функции .
Определение 3. Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума функции , а значения функции в этих точках — экстремумами функции 
.
Теорема 1. Если функция непрерывна в точке , а 
на промежутке 
и 
на промежутке 
, то является точкой максимума функции .
Теорема 2. Если функция непрерывна в точке , а на промежутке 
и 
на промежутке 
, то — точка минимума функции .
Теорема 3 (Ферма). Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в этой точке. Если — точка экстремума функции , то 
.
Теорема 4. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки , и непрерывна в точке . Тогда, если 
меняет знак с «
» на «
» (с «» на «») при переходе через точку , то — точка минимума (точка максимума) функции .
Экстремум функции
Необходимое условие экстремума
Функция g(x) в точке имеет экстремум(максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точки и для всех точек x некоторой области:, выполнено соответственно неравенство
В случае максимума) или (в случае минимума).
Экстремум функции находиться из условия:, если производная существует, т.е. приравниваем первую производную функции к нулю.
Достаточное условие экстремума
1) Первое достаточное условие:
Если:
А) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки такой, что первая производная в данной точке равна нулю или не существует.
Б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции
в) производная сохраняет определенный знак справа от точки 
и слева от этой же точки, тогда точку можно охарактеризовать следующим образом 
Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.
2) Второе достаточное условие
Если функция g(x) обладает второй производной причем в некоторой точке первая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точка экстремум функцииg(x), причем если, то точка является максимумом; если, то точка является минимумом.
3) Третье достаточное условие
Пусть функция g(x) имеет в некоторой окрестности точки N производных, причем значение первых (N - 1)- ой и самой функции в этой точке равно нулю, а значение N-ой производной отлично от нуля. В таком случае:
а) Если N - четно, то точка экстремум функции: у функции точка максимума, у функции точка минимума.
