Справочные материалы к заданию 1

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Кафедра «Прикладная математика –1»

Ю.П. Власов, Е.В. Мельниченко

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Методические указания к практическим занятиям с использованием системы автоматизированных математических вычислений Mathcad

Москва - 2006

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Кафедра «Прикладная математика –1»

Ю.П. Власов, Е.В. Мельниченко

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Рекомендовано редакционно-издательским

советом университета в качестве методических

указаний

для студентов специальности АТС

Москва – 2006

УДК 004

В-58

Власов Ю.П., Мельниченко Е.В. Теория вероятностей. Методические указания к практическим занятиям с использованием системы автоматизированных математических вычислений Mathcad.- М.: МИИТ, 2006. - 52 с.

Методические указания содержат задания по дисциплине «Высшая математика», разделу «Теория вероятностей», выполнение которых предполагается с использованием системы автоматизированных математических вычислений Mathcad. Задания охватывают следующие темы: теоремы сложения и умножения вероятностей, законы распределения случайных величин: биномиальное распределение, распределение Пуассона, равномерное распределение, экспоненциальное распределение, нормальное распределение а также другие законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин и их характеристики. Указания предназначены для использования на практических занятиях и в самостоятельной работе студентами специальности АТС.

ãМосковский государственный

университет путей сообщения

(МИИТ), 2006

Содержание

Предисловие…………………………..……………………4

Справочные материалы к заданию 1 ………………….….5

Задание 1. Теоремы сложения и умножения вероятностей…………………………………………………………..6

Справочные материалы к заданию 2……………………..17

Задание 2. Законы распределения случайных величин:

биномиальное распределение, распределение Пуассона, равномерное распределение, экспоненциальное распределение, нормальное распределение………………………..20

Справочные материалы к заданию 3……………………..36

Задание 3. Законы распределения дискретных и непре-рывных случайных величин и их характеристики………38

Список использованных источников………………..........51

Предисловие

Методические указания “Теория вероятностей” предназначены для использования при изучении соответствующего раздела дисциплины “Высшая математика”. Содержание указаний согласовано с программой четвертого семестра по дисциплине «Высшая математика» для студентов специальности АТС.

Данные методические указания должны помочь студенту на практических занятиях и при выполнении домашних заданий с использованием системы автоматизированных математических вычислений Маthcad при изучении теории вероятностей. Задания соответствуют следующим темам:

1. Теоремы сложения и умножения вероятностей;

2. Законы распределения случайных величин: биномиальное распределение, распределение Пуассона, равномерное распределение, экспоненциальное распределение, нормальное распределение;

3. Законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин и их характеристики.

Каждый раздел содержит 3 задания по 26 вариантов в каждом. Студент выполняет один вариант каждого задания. В качестве примеров рассмотрены задания 26 варианта. Каждый раздел указаний снабжен справочными материалами. Предполагается, что при выполнении заданий студент также будет использовать лекции и литературу по дисциплине “Высшая математика “ и системе Mathcad.

Справочные материалы к заданию 1.

Суммой событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В: С=А+В.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В: С= .

Для суммы событий справедлива формула:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), где

P(A+B) – вероятность суммы событий А и В,

Р(А) – вероятность события А,

Р(В) – вероятность события В,

Р(АВ) – вероятность произведения событий А и В.

Для произведения событий справедлива формула:

P(АВ) = Р(А)· Р(В|A) = P(B) · P(A|B), где

P(A|B) – вероятность того, что произошло событие А при условии, что произошло событие В,

P(В|А) – вероятность того, что произошло событие В при условии, что произошло событие А.

Вероятность того, что устройство проработает без отказов в течение заданного времени Т, называется надежностью.

Задание 1.

Представьте в письменной форме схему работы устройства. Задайте формулой зависимость вероятности безотказной работы данного устройства от значения аргумента р при заданных значениях других параметров, считая, что все элементы устройства работают независимо. Постройте в одной системе координат графики полученных зависимостей, считая, что р изменяется от 0,05 до 0,95 с шагом 0,05 (кроме вариантов 6, 13, 16). При выполнении вариантов 6, 13, 16 определите зависимость надежности устройства от значения аргумента n при заданных значениях других параметров, считая, что n изменяется от 1 до 10 с шагом 1. После построения графиков проанализируйте особенности полученных зависимостей и дайте им объяснение.

Вариант1. Устройство состоит из трех элементов А₁, А₂, А₃, вероятности безотказной работы которых равны, соответственно, р₁, р₂ и р₃. Устройство выходит из строя, если из строя вышли или элементы А₁ и А₂ одновременно, или элемент А₃, или все элементы вместе. Найдите зависимость вероятности безотказной работы устройства в целом от значения р=р₁=р₂ при р₃=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 2. Устройство состоит из четырех элементов А₁, А₂, А₃, А₄, надежности которых равны р₁, р₂, р₃ и р₄ соответственно. Устройство исправно, если работает хотя бы один из элементов А₁ или А₂ и одновременно работает хотя бы один из элементов А₃ или А₄. Найдите зависимость надежности устройства от значения р=р₁=р₂ при р₃=р₄= 0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 3. Устройство состоит из четырех элементов А₁, А₂, А₃, А₄, надежности которых равны, соответственно, р₁, р₂, р₃ и р₄. Устройство исправно, если работают оба элемента А₁ и А₂, или работают оба элемента А₃ и А₄, или работают все элементы. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₁=р₃ при р₂=р₄= 0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 4. Устройство состоит из шести элементов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, надежности которых равны р₁, р₂, р₃, р₄, р₅ и р₆ соответственно. Устройство выходит из строя, если из строя выходит хотя бы один из элементов А₁, А₂, А₃ и одновременно из строя выходит хотя бы один из элементов А₄, А₅, А₆. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₁=р₂=р₃ при р₄=р₅=р₆=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 5. Устройство состоит из шести элементов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, надежность каждого из них равна р₁, р₂, р₃, р₄, р₅ и р₆ соответственно. Устройство работает, если исправен хотя бы один из элементов А₁, А₂, А₃, и исправен хотя бы один из элементов А₄, А₅, и исправен элемент А₆. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₁=р₂=р₃ при р₄=р₅=р₆=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 6. Устройство состоит из n элементов и выходит из строя, если вышел из строя хотя бы один из них. Надежность каждого элемента равна р. Найдите зависимость надежности устройства от числа элементов n. При каком максимальном количестве элементов надежность устройства будет не меньше, чем 0.9, если р = 0.99?

Вариант 7. Устройство состоит из четырех элементов А₁, А₂, А₃, А₄, надежности которых одинаковы и равны р. Устройство исправно, если работают оба элемента А₁ и А₂, или работают оба элемента А₃ и А₄, или работают все элементы. Найдите зависимость надежности устройства от р.

Вариант 8. Устройство состоит из трех элементов А₁, А₂, А₃, вероятности безотказной работы которых равны, соответственно, р₁, р₂ и р₃. Устройство работает, если исправен хотя бы один из элементов А₁ или А₂ и исправен элемент А₃. Найдите зависимость вероятности безотказной работы устройства в целом от значения р=р₁при р₂=0,2 р₃=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 9. Устройство состоит из шести элементов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, надежности которых равны р₁, р₂, р₃, р₄, р₅ и р₆ соответственно. Устройство исправно, если работают все три элемента А₁, А₂ и А₃, или работают все три элемента А₄, А₅ и А₆, или работают все элементы. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₁=р₂ при р₃=р₄=р₅=р₆=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 10. Устройство состоит из трех элементов А₁, А₂, А₃, вероятности безотказной работы которых в течение времени T равны, соответственно, р₁, р₂ и р₃. Устройство работает, если исправен хотя бы один из элементов А₁ или А₂ и исправен элемент А₃. Найдите зависимость вероятности безотказной работы устройства в целом от значения р=р₃ при р₁=р₂=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 11. Устройство состоит из четырех элементов А₁, А₂, А₃, А₄, надежности которых равны р₁, р₂, р₃ и р₄ соответственно. Устройство выходит из строя, если произошло хотя бы одно из событий: элементы А₁и А₂ вышли из строя одновременно или элементы А₃и А₄ вышли из строя одновременно. Найдите зависимость надежности устройства от значения р=р₂=р₃ при р₁=р₄= 0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 12. Устройство состоит из шести элементов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, надежность каждого из них равна р₁, р₂, р₃, р₄, р₅ и р₆ соответственно. Устройство выходит из строя, если, по крайней мере, элементы А₁, А₂, А₃ одновременно вышли из строя, или элементы А₄, А₅ одновременно вышли из строя, или элемент А₆ вышел из строя. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₁=р₄=р₆ при различных значениях р₂=р₃=р₅=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 13. Устройство состоит из n элементов и выходит из строя, если одновременно вышли из строя все элементы. Надежность каждого элемента равна р. Найдите зависимость надежности устройства от числа элементов n. При каком минимальном количестве элементов надежность устройства будет не меньше, чем 0.9, если р = 0.7?

Вариант 14. Устройство состоит из четырех элементов А₁, А₂, А₃, А₄, надежности которых равны, соответственно, р₁, р₂, р₃ и р₄. Устройство исправно, если работают оба элемента А₁ и А₂, или работают оба элемента А₃ и А₄, или работают все элементы. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₁=р₂ при р₃=р₄= 0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 15. Устройство состоит из шести элементов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, надежности которых одинаковы и равны р. Устройство исправно, если работают все три элемента А₁, А₂ и А₃, или работают все три элемента А₄, А₅ и А₆, или работают все элементы. Найдите зависимость надежности устройства от р.

Вариант 16. Устройство состоит из двух блоков B и С, содержащих по n элементов. Надежность каждого элемента равна p. Блок B выходит из строя, если выходят из строя все элементы, входящие в него. Блок С выходит из строя, если выходит из строя хотя бы один из элементов, входящих в него. Устройство в целом выходит из строя, если выходит из строя хотя бы один из блоков B или C. Найти зависимость надёжности всего устройства от числа элементов n, при значениях p = 0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 17. Устройство состоит из четырех элементов А₁, А₂, А₃, А₄, надежности которых равны р₁, р₂, р₃ и р₄ соответственно. Устройство исправно, если работает хотя бы один из элементов А₁ или А₂ и работает хотя бы один из элементов А₃ или А₄ или работают все элементы. Найдите зависимость надежности устройства от значения р=р₁=р₂=р₃ при р₄= 0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 18. Устройство состоит из шести элементов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, надежность каждого из них равна р₁, р₂, р₃, р₄, р₅ и р₆ соответственно. Устройство выходит из строя, если, по крайней мере, элементы А₁, А₂, А₃ одновременно вышли из строя или элементы А₄, А₅ одновременно вышли из строя или элемент А₆ вышел из строя. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₁=р₂=р₃=р₄ при р₅=р₆=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 19. Устройство состоит из шести элементов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, надежности которых равны р₁, р₂, р₃, р₄, р₅ и р₆ соответственно. Устройство выходит из строя, если, по крайней мере, из строя выходит хотя бы один из элементов А₁, А₂, А₃ и, одновременно, из строя выходит хотя бы один из элементов А₄, А₅, А₆. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₁ при р₂=р₃=р₄=р₅= =р₆=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 20. Устройство состоит из четырех элементов А₁, А₂, А₃, А₄, надежность которых одинакова и равна р. Устройство выходит из строя, если произошло хотя бы одно из событий: элементы А₁и А₂ вышли из строя одновременно или элементы А₃и А₄ вышли из строя одновременно. Найдите зависимость надежности устройства от значения р.

Вариант 21. Устройство состоит из трех элементов А₁, А₂, А₃, вероятности безотказной работы которых в течение времени T равны, соответственно, р₁, р₂ и р₃. Устройство выходит из строя, если из строя вышли или элементы А₁ и А₂ одновременно, или элемент А₃, или все элементы вместе. Найдите зависимость вероятности безотказной работы устройства в целом от значения р=р₂ при р₁=0,5 и р₃=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 22. Устройство состоит из шести элементов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, надежность каждого из них равна р₁, р₂, р₃, р₄, р₅ и р₆ соответственно. Устройство работает, если исправен хотя бы один из элементов А₁, А₂, А₃, и исправен хотя бы один из элементов А₄, А₅, и исправен элемент А₆. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₄=р₅ при р₁=р₂=р₃=р₆=0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 23. Устройство состоит из шести элементов А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, надежность каждого из них равна р. Устройство выходит из строя, если, по крайней мере, элементы А₁, А₂, А₃ одновременно вышли из строя или элементы А₄, А₅ одновременно вышли из строя или элемент А₆ вышел из строя. Найдите зависимость надежности устройства от р.

Вариант 24. Устройство состоит из четырех элементов А₁, А₂, А₃, А₄, надежности которых равны, соответственно, р₁, р₂, р₃ и р₄. Устройство исправно, если работают оба элемента А₁ и А₂ или работают оба элемента А₃ и А₄, или работают все элементы. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₁=р₂=р₃ при р₄= 0.1; 0.5; 0.9.

Вариант 25. Устройство состоит из трех элементов А₁, А₂, А₃, вероятности безотказной работы которых одинаковы и равны р. Устройство выходит из строя, если из строя вышли или элементы А₁ и А₂ одновременно, или элемент А₃, или все элементы вместе. Найдите зависимость вероятности безотказной работы устройства в целом от значения р.

Вариант 26. Устройство состоит из четырех элементов А₁, А₂, А₃, А₄, надежности которых равны, соответственно, р₁, р₂, р₃ и р₄. Устройство выходит из строя, если из строя одновременно выходят элементы А₁, А₂, А₃, или выходит из строя элемент А₄, или из строя выходят все элементы. Найдите зависимость надежности устройства от р=р₄ при р₁=0,5, р₂=р₃=0.1; 0.5; 0.9.

Пример выполнения задания 1. Вариант 26.

Составим схему работы устройства:

А1

А2

А3

А4

Определим вероятность безотказной работы устройства. Для этого найдем вероятность отказа первой части устройства, состоящей из элементов А₁, А₂ и А₃: так как (1-p_i) – вероятность отказа элемента А_i (i=1, 2, 3), то по теореме умножения вероятностей искомая вероятность равна . Тогда вероятность работы первой части устройства, как вероятность противоположного события, равна . Соответственно, надежность всей схемы, по теореме умножения вероятностей, равна .

Вычислим, используя систему Mathcad, вероятность работы устройства при заданных значениях р₁, р₂ и р₃, считая, что р₄ принимает значения от 0,05 до 0,95 с шагом 0,05. Далее р₂_i и p₃_i – вероятности безотказной работы элементов А₂ и А₃ соответственно при i-ом наборе значений.

Построим графики полученных зависимостей:

Проанализируем полученный результат. При фиксированных значениях р₁, р₂, р₃ из формулы для вычисления вероятности безотказной работы видно, что зависимость от р₄ – линейная, а угловой коэффициент определяется значениями р₁, р₂, р₃.