Формули розв’язків тригонометричних рівнянь

 

Рівняння	Формула розв’язків
sin х = а,	| а | < 1   | а | > 1	х = (–1) k аrсsin а + k π, k ∈ Z   розв’язків немає
cos х = а,	| а | < 1   | а | > 1	х =± аrсcos а + 2 k π, k ∈ Z   розв’язків немає
tg х = а	x = аrсtg а + k π, k ∈ Z

 

 

Тема: Перпендикулярність прямих і площі у просторі

 

Головні питання:

1.Кут між двома прямими, що перетина­ються, - менший із утворених ними чотирьох кутів. Кут між паралельними прямими дорівнює 0°. Кутом між мимобіжними прямими називають кут між прямими, що перетинаються і які паралельні даним прямим.

2. Дві прямі називають перпендикулярними, якщо кут між ни­ми дорівнює 90°. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з па­ралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої прямої.

3. Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до кожної пря­мої, що лежить у площині, і проходить через точку перетину (означення). Якщо пряма перетинає площину і перпендикуляр­на до двох різних прямих цієї площини, що проходять через точку перетину, то вона перпендикулярна і до площини (ознака перпендикулярності прямої і площини).

4. Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то й друга пряма перпендикулярна до неї. Дві прямі, перпендикулярні до однієї площини, паралельні.

5. Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану площи­ну, називають відрізок прямої, перпендикулярної до площини, що міститься між даною точкою і площиною.

6. Пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до похилої тоді і тільки тоді, коли вона перпендикулярна до проекції по­хилої (теорема про три перпендикуляри).

7. Кутом між прямою і площиною називають кут між прямою і її ортогональною проекцією на площину. Якщо пряма пара­лельна (перпендикулярна) площині, то кут між ними дорівнює 0° (90°). Кутом між площинами називають кут між прямими, проведеними в цих площинах перпендикулярно до лінії їх пе­ретину. Кут між паралельними площинами дорівнює 0°.

 

8. Дві площини називають перпендикулярними, якщо кут між ними прямий. Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до другої, то такі площини перпендикулярні (ознака перпендикулярності площин).

9. Проектування називають прямокутним, або ортогональ­ним, якщо проектуючі прямі перпендикулярні до площини проекцій. Якщо S і S_nр - площі многокутника і його ортого­нальної проекції, а кут між їх площинами , то

S_np — S cos< .

 

Тема: Геометричні тіла. Об'єми та площі поверхонь геометричних тіл

 

Головні питання:

1. Призми, піраміди, зрізані піраміди, правильні многогран­ники — найпростіші та найважливіші види многогранників.

2. Призмою називають многогранник, у якого дві грані - рівні лі-кутники, а решта п граней - паралелограми. Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ. Призма називається правильною, якщо вона пряма, а її основи - правильні многокутники. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра її основи на ви­соту.

3. Паралелепіпедом називають призму, в основі якої лежить паралелограм. Якщо бічні ребра паралелепіпеда перпендику­лярні до площин основ, його називають прямим паралеле­піпедом. Якщо всі 6 граней паралелепіпеда прямокутники, його називають прямокутним паралелепіпедом. Квадрат діа­гоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів. Усі діагоналі прямокутного паралелепі­педа рівні.

4. Пірамідою називають многогранник, одна грань якого - довільний многокутник, а всі інші грані - трикутники, що мають спільну вершину. Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, центр якого збі­гається з основою висоти. Висота бічної грані правильної пі­раміди, проведена з її вершини, - апофема піраміди. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра її основи на апофему.

5. Многогранник називається правильним, якщо всі його грані - рівні правильні многокутники, а всі вершини одна­ково віддалені від деякої точки. Існує всього 5 видів пра­вильних многогранників: правильні тетраедр, гексаедр (куб), октаедр, додекаедр та ікосаедр.

6. Циліндр, конус, зрізаний конус, куля, кульовий сегмент, кульовий сектор - найважливіші тіла обертання.

7. Циліндр - тіло, утворене обертанням прямокутника нав­коло його сторони. Поверхня циліндра складається з двох основ і бічної поверхні. Основи циліндра - рівні круги, що лежать у паралельних площинах; бічну поверхню можна розгорнути у прямокутник. Тому якщо радіус і висота ци­ліндра r і h, то площа його бічної поверхні S = 2 rh, площа поверхні S = 2 r(r + h).

8. Конус - тіло, утворене обертанням прямокутного трикут­ника навколо його катета. Якщо радіус конуса г, а твірна І, то площа бічної поверхні конуса

S = rl,, а площа поверхні

S = r(r + l)

9. Куля - тіло, утворене обертанням круга навколо його діа­метра. Сфера - поверхня кулі; її можна утворити обертан­ням кола навколо його діаметра. Площину (пряму), яка має з кулею тільки одну спільну точку, називають дотичною пло­щиною (прямою) до кулі. Якщо дві сфери мають лише одну спільну точку, то вони дотикаються в цій точці.

10. Об’єм - кількісна характеристика тіла.

11.Кожне тіло має певний об’єм, виражений додатним чис­лом.

12. Рівні тіла мають рівні об’єми.

13. Якщо тіло поділене на кілька частин, то його об’єм дорів­нює сумі об’ємів усіх цих частин.

14. Об’єми тіл можна вимірювати або обчислювати.

15. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добуткові трьох його вимірів: V = аbс.

16. Об’єм призми (і циліндра) дорівнює добутку площі основи на висоту:

V = Об’єм циліндра V = nr²h.

17.Об’єм піраміди (і конуса) дорівнює третині добутку площі основи на висоту: V = Sh. Об’єм конуса V = r² h.

18. Об’єм кулі радіуса г визначається за формулою V = = r³

 

 

Тема: Степенева, показникова та логарифмічна функція

 

Головні питання:

1. Вираз а^а називають степенем. Тут а - основа степеня, - його показник. Значення степеня з раціональним показником знаходять за формулами:

а¹ = а; а ° = 1 (а 0); а^п = а а ... а, (а єR, п єN);

п разів

а^-n = (а о, п N); = (п є N, т є Z, а > 0). а

2. Основні властивості степенів:

1) а^т а^п = а^m+n; 2) а^m: аⁿ = а^m-n; 3) (а^m)ⁿ = а^{m n};

4) (а b)ⁿ = аⁿ bⁿ; 5) (а: b)^п = а^п: b^п.

3. Основні властивості показникової функції:

1) Область визначення функції y = а ^х – множина R

2) Область значень функції y = а ^х - множина (0; );

3) якщо а 1, функція у = а ^х зростає, а якщо 0 < а < 1 - спадає;

4) функція у = а^х - ні парна, ні непарна, ні періодична;

5) графік кожної показникової функції проходить через і точку (0; 1).

4.Логарифмом числа b за основою а називають показник степеня, до якого потрібно піднести число а, щоб дістати b.

Тобто, якщо а^х = Ь, то х = log_ab (b > 0, а > 0, а Ф 1).

5. Властивості логарифмів:

6.Функція виду у = log_a х, де а > 0, а ф 1, називається лога­рифмічною.

7. Основні властивості логарифмічної функ­ції:

1)Область визначення функції у = log_ax - множина (0; );

2)Область значень функції у = log_a х - множина R;

3)Якщо а > 1, функція у = log_a х зростає, а якщо 0 < а < 1 - спадає;

4) функція у = log_ax - ні парна, ні непарна, ні періодична;

5) графік кожної логарифмічної функції проходить через точку (1; 0).

8. Функції у = log_a х і у = а^х - взаємно обернені, тому їх гра­фіки симетричні відносно прямої у = х.

9. Показниковими називаються рівняння та нерівності, у яких змінні містяться лише в показниках степенів.

10.Основні методи розв’язування показнико­вих рівнянь і нерівностей:

І. Метод зведення обох частин рівняння до степенів (логарифмів) з однаковимиосновами; Метод уведення нової змінної;

ІІ. Функціонально-графічний метод.

11. Логарифмічними називаються рівняння та нерівності, у яких змінні містяться лише під знаками логарифмів.

12. Основні методи розв’язування логарифмічних рівнянь і нерівностей:

І. За означенням логарифма;

ІІ. За властивостями логарифмів і логарифмічної функції,

ІІІ. Введення нової змінної;

ІV. Графічний;

V. Логарифмування.

13. Показникові та логарифмічні рівняння й нерівності вхо­дять до складу трансцендентних рівнянь і нерівностей.