Линейные операции над векторами в координатной форме

1.

Определение. Линейным пространством L = {a,b,c,…} называется множество, относительно элементов которого определены операции сложения и умножения на число, причем результаты этих операций принадлежат этому же множеству (говорят, что L замкнуто относительно операций сложения и умножения на число): .

(Элементы линейных пространств также будем называть векторами)

 

Пример: множество натуральных чисел N; V₂; V₃.

 

Следствия из аксиомы

Для эти операции удовлетворяют следующим условиям:

1. a + b = b + a (коммутативность сложения).

2. (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения).

3. .

4.

5. 1 ·а = а.

6.

7. (α + β)а = αа + βа (дистрибутивность).

8. α(а + b) = αa + αb (дистрибутивность).

 

 

2. Определение 1. Сумма называется линейной комбинацией элементов а₁, а₂,…,а_n с коэффициентами λ_k.

Определение 2. Система элементов линейного пространства {a₁,…,a_n} называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты λ₁,…,λ_n не все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.

Определение 3. Система элементов линейного пространства {a₁,…,a_n} называется линейно

независимой, если ее линейная комбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами:

 

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной независимости). a₁,…,a_n – линейно зависима когда хотя бы один из элементов является линейной комбинацией остальных.

{1.(необходимость: { a_k } – л.з.): . Пусть, для определенности, а₁ – линейная комбинация остальных.

2.(достаточность: a_m – л.к.): }

 

Теорема 2. Если один из элементов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.

{ }

Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

{ }

 

3.

Базисом А линейного пространства называются любые n ЛНЕЗ векторов, такие что при добавлении к ним n+1 -го вектора система становится ЛЗ.

 

Размерностью ЛП называется кол-во векторов в его базисе.

 

4.
Коэффициенты разложения вектора по базису ЛП, записанные в соответствии с порядком векторов в базисе, называют координатами вектора.

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

1. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. если .

2. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, т.е. если

5.
Системы векторов e={ , …} и f={ , … } базисы n-мерного ЛПα.Координаты вектора х в разных базисах: Справедливо = , где – матрица перехода от базиса e к базису f. Это матрица столбцами которой являются координаты векторов { , … } в базисе { , …}.

6.
Ранг системы векторов ЛП равен максимальному числу ЛНЕЗ векторов или рангу матрицы составленной из координат векторов записанных по столбцам.

 

8.

Вещественное линейное пространство R называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством), если выполнены следующие два требования.
I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства х и у ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (х, у).
П. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:
1°. (х, у) = (у, х) (переместительное свойство или симметрия);
2°. (x₁ + x2, у) = (х₁,у) + (х₂, у) (распределительное свойство);
3°. (λх, у) = λ(х, у) для любого вещественного λ;
4°. (х, х) > 0, если х — ненулевой элемент; (х, х) = 0, если х — нулевой элемент.

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

· размерности (вещественная прямая)

· размерности (евклидова плоскость)

· размерности (евклидово трехмерное пространство)

· Евклидово пространство можно считать современной интерпретацией и обобщением (так как оно допускает размерности больше трех) классической (Евклидовой) геометрии.

Норма — функция, заданная на векторном пространстве и обобщающая понятие длины вектора

Пусть дано линейное пространство со скалярным произведением . Пусть — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы и пропорциональны (коллинеарны).

Условия ортогональности векторов. Два вектора ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю

 

7.
Непустое подмножество линейного пространства называется линейным подпространством пространства , если

1) (подпространство замкнуто по отношению к операции сложения);

2) и любого числа (подпространство замкнуто по отношению к операции умножения вектора на число).

Примеры подпространств:

1. Пространство , состоящее из одного нулевого вектора пространства , является подпространством, т.е. .

2. Пусть, как и ранее, — множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно. Если прямая принадлежит плоскости, то . Напротив, множество единичных векторов не является линейным подпространством, так как при умножении вектора на число, не равное единице, получаем вектор, не принадлежащий множеству.

3. В n-мерном арифметическом пространстве рассмотрим множество "полунулевых" столбцов вида с последними элементами, равными нулю. Сумма "полунулевых" столбцов является столбцом того же вида, т.е. операция сложения замкнута в . Умножение "полунулевого" столбца на число дает "полунулевой" столбец, т.е. операция умножения на число замкнута в . Поэтому , причем . Напротив, подмножество ненулевых столбцов не является линейным подпространством, так как при умножении на нуль получается нулевой столбец, который не принадлежит рассматриваемому множеству. Примеры других подпространств приводятся в следующем пункте.

4. Пространство решений однородной системы уравнений с неизвестными является подпространством n-мерного арифметического пространства . Размерность этого подпространства определяется матрицей системы: .

Множество решений неоднородной системы (при ) не является подпространством , так как сумма двух решений неоднородной; системы не будет решением той же системы.

5. В пространстве квадратных матриц порядка л рассмотрим два подмножества: множество симметрических матриц и множество кососимметрических матриц. Сумма симметрических матриц является симметрической матрицей, т.е. операция сложения замкнута в . Умножение симметрической матрицы на число также не нарушает симметричность, т.е. операция умножения матрицы на число замкнута в . Следовательно, множество симметрических матриц является под пространством пространства квадратных матриц, т.е. . Нетрудно найти размерность этого подпространства. Стандартный базис образуют: л матриц с единственным ненулевым (равным единице) элементом на глав ной диагонали: , а также матрицы с двумя ненулевыми (равными единице) элементами, симметричными относительно главной диагонали: . Всего в базисе будет матриц. Следовательно, . Аналогично получаем, что и .

Множество вырожденных квадратных матриц n-го порядка не является подпространством , так как сумма двух вырожденных матриц может оказаться невырожденной матрицей, например, в пространстве

6. В пространстве многочленов с действительными коэффициентами можно указать естественную цепочку подпространств

Множество четных многочленов является линейным подпространством , так как сумма четных многочленов и произведение четно го многочлена на число будут четными многочленами. Множество нечетных многочленов также является линейным пространством. Множество многочленов, имеющих действительные корни, не является линейным подпространством, так как при сложении таких двух многочленов может получиться многочлен, который не имеет действительных корней, например, .

7. В пространстве можно указать естественную цепочку подпространств:

Многочлены из можно рассматривать как функции, определенные на . Так как многочлен является непрерывной функцией вместе со своими производными любого порядка, можно записать: и . Пространство тригонометрических двучленов является подпространством , так как производные любого порядка функции непрерывны, т.е. . Множество непрерывных периодических функций не является подпространством , так как сумма двух периодических функций может оказаться непериодической функцией, например, .

Пусть дана конечная системавекторов a ₁, a ₂, …, a _k Î R ⁿ. Её линей­ной оболочкой (обозначение: ‹ a ₁, a ₂, …, a _k ›) называется множество значений всевозмож­ных линейных комбинаций векторов данной системы (с коэффициентами из основного поля K).

Размерность линейной оболочки конечной системы векторов равна рангу этой системы.

 

 

9.

Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.