Дискретная случайная величина

Уфа 2010

УДК 51

ББК 22.14

М 54

 

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства (протокол № 2 от 24 февраля 2010 года)

 

Составители: доцент Костенко Н.А., доцент Чередникова Л.Ю., доцент Авзалова З.Т.

 

Рецензент: доцент кафедры бухгалтерского учета и аудита Насырова А.Д.

 

Ответственный за выпуск: зав каф. математики доцент Лукманов Р.Л.

 

 

Введение

 

До сих пор мы имели дело со случайными событиями. Событие являет­ся качественной характеристикой случайного результата опыта. Случай­ный результат можно охарактеризовать и количественно. Количественной характеристикой случайного результата опыта является случайная вели­чина.

Случайные величины. Функции распределения

Понятие случайной величины - одно из основных в теории вероятностей. Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное, изависящее от случайных причин.

Функцией распределения случайной величины X называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что X примет значение, меньше x, т.е.

 

F(x) = Р (X < х).

 

Функция распределения случайной величины обладает следующими свойствами:

1) Функция распределения принимает значений из промежутка [0;l]:

 

О ≤ F(x) 1.

 

2)Функция распределения есть неубывающая функция:

 

F( )≥ F( ), если > .

 

3) Вероятность того, что случайная величина X примет значение из промежутка [ a;b), равна разности значений функции распределения в точ­ках a и b:

F(a ≤ X<b)=F(b)-F(a).

 

4 ) Р(Х ≥ x) =1 - F(x).

5)Если х → + ∞, то F(x) → 1.

6) Если х → - ∞, то F(x)→ 0.

Дискретная случайная величина

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероят­ностями.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между всеми возможными значениями x1., x2, x3,… случайной величины X и их вероятностями p1, p2, p3,… (pi=P(X=xi)), причем p1+p2+p3+…=1. Закон распределения задается таблично, аналитичес­ки или графически. При табличном задании закона распределения первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины X, а вторая - их вероятности:

 

X	x1	x2	x3	…
p	p1	p2	p3	…

 

Для наглядности закона распределения дискретной случайной величины изображают графически, длячего в прямоугольной системе коорди­нат строят точки (xi,pi)исоединяют их последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины X.

2.1 Задача. В урне 7 шаров, из которых 4 белых, а остальные черные. Из урны наудачу извлекаются 3 шара; Х - число извлеченных белых шаров. Найдите закон распределения дискретной случайной величины ипостройте многоугольник и функцию распределения.

Решение. Возможные значения случайной величины Х: 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятностиp0, p1, p2, p3 подсчитываем классическим способом:

 

;

;

 

Закон распределения X

 

X
p	1/35	12/35	18/35	4/35

 

Проверка: 1/35+12/35+18/35+4/35=1. Многоугольник распределения изображен на рисунке 1.

Найдем функцию распределения F(x).

Если x 0, то F(x)=P(X<x)=0

Если 0<x 1, то F(x)= p0=1/35

Если 1<x 2, то F(x)= p0+ p1=1/35+12/35=13/35

Если 2<x 3, то F(x)= p0+ p1+ p2=31/35

Если x>3, то F(x)= p0+ p1+ p2+ p3=1

Таким образом,

 

F(x)=

 

Функция распределения изображена на рисунке 2

 

 

 

Числовыми характеристиками дискретной случайной величины служат математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Математиеским ожиданием M [ X ] дискретной случайной величины X называют симму произведений всех ее возможных значений xi на их вероятности

M[X]= xi pi (1)

 

Свойства математического ожидания:

1) если с – постоянная, то M [ c ] =c;

2) M[c X]=c M[X];

3) если X и Y – независимы, то M[X Y]=M[X] M[Y];

4) M[X+Y]=M[X]+M[Y].

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

 

D[X]=M[(X-M[X]) ]. (2)

 

Дисперсию можно вычислять по формуле

 

D[X] =M[X ]-M[X] . (2’)

 

Свойства дисперсии:

1) Если c – постоянная, то D [c]=0;

2) D [c X ]=c D[X];

3) если X и Y – независимы, то D [ X+Y ]= D [ X ]+ D [ Y ]

Дисперсия характеризует меру рассеяния значений случайной величины вокруг математического ожидания.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется квадратный корень из дисперсии

 

σ[ X ]= (3)

 

2.2 Задача. Три стрелка независимо друг от друга 1 раз стреляют по одной цели. Вероятность попадания первого стрелка в цель равна 0,7, второго – 0,8, третьего – 0,9. Найти математическое ожидание Z числа попаданий в цель.

Решение. Пусть X i– число попаданий в цель для i – го стрелка (i =1,2,3), очевидно

 

Xi

 

Z=X1+X2+X3, M[Z]=M[X1+X2+X3]=M[X1]+M[X2]+M[X3]

X1
p	0,3	0,7

 

 

X2
p	0,2	0,8

 

X3
p	0,1	0,9

 

M[X1]=0,7; M[X2]=0,8; M[X3]=0,9

M[Z]= M[X1+ X2+ X3]=0,7+0,8+0,9=2,4.

Решите задачи самостоятельно:

2.3 Найдите математическое ожидание, дисперсию и построить функцию распределения дискретной случайной величины, заданной законом распределения

 

X	-2
p	0,1	0,4	0,3	0,2

 

(3,1; 13,89)

2.4 Случайная величина X может принимать 4 возможных значения: =1, =3, =4, =6. Вероятности появления первых трех воз­можных значений равны = 0,1, = 0,4, =0,2. Написать закон распределения случайной величины X.

2.5 Дискретная случайная величина X принимает три возможных зна­чения: = 2 с вероятностью = 0,3, = 4 с вероятностью = 0,4 и значение с вероятностью . Найти и , зная, что M[X] =5. (9,33; 0,3).

2.6 Одновременно бросают три игральные кости. Найди математичес­кое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно 2 шестерки, если общее число бросаний равно 15. (≈ 1,042)

2.7 Найти математическое ожидание М[X] и дисперсию D [ X ]числа X лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 100 билетов, а вероятность выигрыша на каждый билет равна 0.05. (5; 4,75)

2.8 Найти дисперсию дискретной случайной величины X -числа отказов элементов некоторого устройства в 20 независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0.3. (4.2)

2.9 Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения и , причем | > | |. Вероятность того, что X примет значение равна 0,3. Написать закон распределения величины X, если известно, что М[Х] = 3,4; D [ X ]= 0,84.

2.10 В партии из 5 деталей имеется 3 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали, Составить закон распределений дискретной случайной величи­ны X - числа стандартных деталей среди отобранных.

2.11 Чемуравно математическое ожидание суммы числа очков, кото­рые могут выпасть при одном бросании трех игральных костей? (21/2).

2.12 Дискретная случайная величина X - число мальчиков в семьях с 5 детьми. Предполагая равновероятными рождения мальчика и девочки: а) найдите закон распределения Х; б) постройте многоугольник распределения; в ) найдите вероятности событий; А - в семье не менее 2, но не более 3 мальчиков; В - не более 3 мальчиков; С - более одного мальчика. (5/8; 13/16; 13/16).

2.13 С вероятностью попадания при одном выстреле 0,7 охотник стре­ляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4 выст­релов, Дискретная случайная величина X - числопромахов, в) Найди­те закон распределения X. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятности событий: X < 2; X ≤ 3; 1 < X ≤ 3. (0,91; 0,9919; 0,0819)

2.14 В коробке имеются 7 карандашей, из которых 4 - красные. Из этой коробки наудачу извлекаются 3 карандаша. а) Найдите закон рас­пределения случайной величины X, равной числу красных карандашей в выборке. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите веро­ятность события: 0 < X ≤ 2. (6/7)

2.15 Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на "отлично", наугад извлекают 3 работы. Найдите закон распределения, математичес­кое ожидание и дисперсию случайной величины X, равной числу оцененных на "отлично" работ среди извлеченных. Чему равна вероятность события X > 0?(0,6; 0,44; 58/115)

2.16 Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, равной числу проб при открывании замка, ес­ли испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует. (3;2)

2.17 В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2 детали. Найдите закон распределения, математическое ожидание к дисперсии случайной величины X, равной числу стандартных деталей в выборке. (1,6; 0,2855)

2.18 Бросается игральная кость до первого выпадения шестерки. Слу­чайная величина X равна количеству бросаний кости. Найдите закон рас­пределения случайной величины X и вероятность события X ≤ 5. (0,335)

2.19 На пути движения автомобиля 6 светофоров, каждый из них или разрешает, ил» запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случай­ной величины X, равной числу светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. (0,656; 1,788)

2.20 Вероятность изготовления нестандартной детали 0,1. Изпартии контролер берет деталь и проверяет ее на стандартность, Если деталь оказывается нестандартной, то дальнейшие испытания прекращаются, а партия вся задерживается. Если же деталь окажется стандартной, то контролер берет следующую и т.д., но всего он проверяет не более 5 де­талей. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, равной числу проверяемых стандартных деталей. (4,095; 1,9889)

2.21 Производятся последовательные испытания 5 приборов на надеж­ность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Найдите закон распределения и функцию распределения случайного числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого прибора равна 0.9,

2;22 Даны все возможные значения дискретной случайной величины X: х1 = 1, x2 = 2, х3 = 3, а также известны М[Х] = 2,3, M[X²] = 5.9. Найдите закон распределения величины X.