VIII-а. Поверхности второго порядка

 

 

8-а.1. Наименьшая ось трехосного эллипсоида равна …

 

# … 2.

 

8-а.2. Наибольшая ось трехосного эллипсоида равна …

 

# … 4.

8-а.3. Сечения поверхности плоскостями, перпендикулярными оси ординат, являются …

 

# … гиперболами.

 

8-а.4. Сечения поверхности плоскостями, перпендикулярными оси аппликат, являются …

 

# … эллипсами.

8-а.5. Сечения поверхности плоскостями, перпендикулярными оси ординат, являются …

 

# … прямыми.

 

8-а.6. Сечения поверхности плоскостями, перпендикулярными оси абсцисс, являются …

 

#… окружностями.

 

8-а.7. Сечения поверхности плоскостями, параллельными оси аппликат, являются …

 

# … параболами.

 

8-а.8. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:

 

1)

2)

3)

4)

 

1) Гиперболический параболоид

2) Однополостный гиперболоид

3) Эллипсоид вращения

4) Двуполостный гиперболоид

 

8-а.9. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:

 

1)

2)

3)

4)

 

1) Конус

2) Эллиптический параболоид

3) Пара плоскостей

4) Уравнение не определяет никаких действительных геометрических образов

 

8-а.10. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:

 

1)

2)

3)

4)

 

1) Прямая

2) Параболический цилиндр

3) Параболоид вращения

4) Конус

 

8-а.11. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:

 

1)

2)

3)

4)

 

1) Однополостный гиперболоид

2) Трехосный эллипсоид

3) Гиперболический параболоид

4) Точка

 

 

8-а.12. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:

 

1)

2)

3)

4)

1) Параболоид вращения

2) Эллиптический параболоид

3) Пара плоскостей

4) Эллиптический цилиндр

 

8-а.13. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:

 

1)

2)

3)

4)

1) Однополостный гиперболоид

2) Параболический цилиндр

3) Эллиптический параболоид

4) Точка

 

8-а.14. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:

 

1)

2)

3)

4)

1) Конус второго порядка

2) Двуполостный гиперболоид

3) Трехосный эллипсоид

4) Прямая

 

8-а.15. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:

 

1)

2)

3)

4)

 

1) Уравнение не определяет никаких действительных геометрических образов

2) Конус второго порядка

3) Гиперболический параболоид

4) Эллиптический параболоид

 

8-а.16. Плоскость пересекает поверхность по эллипсу с полуосями …

 

# … 1 и 2.

 

8-а.17. Уравнение поверхности, полученной вращением гиперболы вокруг оси , имеет вид …

# … .

 

8-а.18. Уравнение поверхности, полученной вращением гиперболы вокруг оси , имеет вид …

 

# …

 

8-а.19. Установите, что плоскость пересекает поверхность по эллипсу. Его полуоси равны …

 

# … 3 и .

 

8-а.20. Уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси , — это…

 

# … .

 

IX. Линейные пространства

 

9.1. Матрицей перехода от базиса к базису , где является…

 

…

 

 

9.2. Матрица перехода от одного базиса к другому всегда является…

 

…невырожденной.

 

 

9.3. В линейном пространстве векторов, параллельных данной плоскости, базисом являются …

 

… любые два неколлинеарных вектора, параллельных данной плоскости.

 

 

9.4. Все функции, определенные на всей числовой прямой и удовлетворяющие условию , …

 

…образуют линейное пространство, если , а операции суммы и умножения на число определены стандартным способом.

 

9.5. Вектор …

 

… невозможно представить в виде линейной комбинации векторов и .

 

9.6. Матрицы вида (операции сложения и умножения на число определены стандартным образом)…

 

…образуют линейное пространство размерности 1.

 

9.7. Матрицы вида (операции сложения и умножения на число определены стандартным образом)…

 

…не образуют линейного пространства.

9.8. Матрицы вида , где числа , , и удовлетворяют условиям , , а операции сложения и умножения на число определены стандартным образом, …

 

…образуют линейное пространство размерности 2.

 

9.9. Векторы , , …

 

… являются линейно-зависимыми.

 

9.10. Разложение вектора по базису , , имеет вид , где…

 

… .

 

9.11. Функции , , будут линейно зависимыми при…

 

… .

 

9.12. Функции , , будут линейно-независимыми при…

 

…любом значении .

 

9.13. Базисом линейного пространства решений однородной системы является…

 

… вектор .

 

9.14. Векторы , и

 

…являются линейно-независимыми.

 

9.15. Проверьте, что множество функций вида (квадратные трехчлены) таких, что , образует линейное пространство. Базисом в этом пространстве является…

… , .

9.16. Базисом линейного пространства решений однородной системы является…

 

… векторы , , .

 

 

9.17. Матрица линейного оператора, переводящего любой вектор в вектор , записанная в стандартном базисе , , , имеет вид…

 

… .

 

9.18. Матрица дифференцирования многочленов не выше второго порядка в базисе имеет вид…

 

… .

 

9.19. Матрица линейного оператора, отображающего все геометрические векторы пространства в векторы, параллельные некоторой плоскости, является…

 

…вырожденной.

9.20. Известно, что линейный оператор переводит вектор в вектор , а вектор — в вектор . Матрица этого оператора, записанная в базисе , , имеет вид…

 

… .

9.21. Матрица оператора симметрии относительно плоскости , записанная в базисе , , , имеет вид…

 

… .

 

9.22. Матрица оператора ортогонального проектирования на плоскость , записанная в базисе , , , имеет вид…

 

… .

 

9.23. Матрица некоторого оператора, записанная в базисе , , имеет вид . Этот оператор является…

 

…оператором симметрии относительно оси .

 

9.24. Множество всех матриц размера , для которых операции сложения и умножения на число определены стандартным образом, …

 

…является линейным пространством размерности 4.

 

9.25. Линейной комбинацией векторов и является вектор…

 

… .

 

9.26. Известно, что линейный оператор переводит вектор в вектор , а вектор — в вектор . Тогда вектор переходит в вектор…

 

… .

 

9.27. Известно, что линейный оператор переводит вектор в вектор , а вектор — в вектор . Тогда вектор переходит в вектор…

 

… .

 

9.28. Размерность линейного пространства симметричных матриц …

 

…равна 6.