Перевод натуральных чисел из одной системы счисления в другую

Перевод числа из десятичной системы счисления в позиционную систему счисления с основанием X можно выполнить следующим образом:

1) число, представленное в десятичной системе счисления, делится на X, при этом полученный остаток (натуральное число меньшее X) запоминается;

2) полученное от деления число вновь делится на X, полученный остаток также запоминается;

3) деление (и запоминание остатков) продолжается до тех пор, пока не будет получено число меньшее X;

После этого формируется число в позиционной системе счисления с основанием X: полученное последнее число и остатки записывают в обратном порядке, то есть справа записывают первый остаток, левее следующий остаток и так далее, в конце (слева) записывают последнее полученное число меньшее X.

Например, перевод числа 12 из десятичной системы счисления в позиционную систему счисления с основанием 2 (X=2) можно выполнить так:

12:2=6 (остаток 0), так как 6 не меньше 2, то

6:2=3 (остаток 0), так как 3 не меньше 2, то

3:2=1 (остаток 1), так как частное 1 меньше 2, то записываем число в обратном порядке 1100₂. То есть 12=1100₂.

Например, перевод числа 250 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления (X=8) можно выполнить аналогичным образом:

250:8=31 (остаток 2), так как 31 не меньше 8, то

31:8=3 (остаток 7), так как частное 3 меньше 8, то записываем число в обратном порядке 372₈. То есть 250=372₈.

Например, перевод числа 250 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления (X=16) можно выполнить аналогично:

250:16=15 (остаток 10), так как частное 15 меньше 16, то записываем число (учитывая, что 15=F, 10=A) в обратном порядке FA₁₆. То есть 250=FA₁₆.

Попробуйте самостоятельно перевести число 250 в систему счисления с основанием 6 и сравните с ответом (ответ: 250=654₆).

 

Перевод числа из позиционной системы счисления с основанием X в десятичную систему счисления можно выполнить, представив число в виде записанного ранее ряда: a_n Xⁿ + a_n-1 X^n-1 +…+a₂ X² +a₁ X¹ +a₀ X⁰, для которого надо выполнить операции возведения в степень, умножения и сложения. Например,

1100₂=1*2³+1*2²+0*2¹+0*2⁰ =1*8+1*4+0*2+0*1=8+4+0+0=12,

372₈ =3*8²+7*8¹+2*8⁰=3*64+7*8+2*1=192+56+2=250,

FA₁₆= F*16¹+A*16⁰=15* 16¹+10*16⁰=240+10=250.

Попробуйте самостоятельно перевести число 654₆ в десятичную систему счисления.

В общем случае перевод чисел из позиционной системы счисления с основанием Y (отличным от 10) в позиционную систему счисления с основанием Z (также отличным от 10) можно выполнить следующим образом. Число, записанное в системе с основанием Y, следует последовательно делить на число Z (это число Z должно быть предварительно представлено в системе счисления с основанием Y) и затем записать полученное последнее число и остатки в обратном порядке. Например, надо перевести число 306₈ в троичную систему счисления (Y=8, Z=3). Следует отметить, что число три (представленное в троичной системе счисления) в восьмеричной системе счисления также равно трем. Тогда при переводе числа 306₈ в троичную систему счисления можно это число последовательно делить на 3 (в восьмеричной системе счисления).

306₈:3=102₈ (остаток 0), так как 102₈ не меньше 3, то

102₈:3=26₈ (остаток 0), так как 26₈ не меньше 3, то

26₈:3=7₈ (остаток 1), так как 7₈ не меньше 3, то

7₈:3=2 (остаток 1), так как 2 меньше 3, то записываем число в обратном порядке 21100₃. То есть 306₈=21100₃.

Например, надо выполнить обратный перевод, то есть перевести число 21100₃ в восьмеричную систему счисления (Y=3, Z=8). Число 8 (представленное в восьмеричной системе счисления) будет представлено числом 22₃ в троичной системе счисления. Тогда при переводе числа 21100₃ в восьмеричную систему счисления можно это число последовательно делить на 22₃.

21100₃: 22₃=220₃ (остаток 20₃, то есть 20₃=6₁₀=6₈), так как 220₃ не меньше 22₃, то

220₃: 22₃=10₃ (остаток 0), так как 10₃ меньше 22₃, то (учитывая, что 10₃=3₁₀=3₈) записываем число в обратном порядке 306₈. То есть 21100₃=306₈.

Если основания систем счисления связаны соотношением Y=Zⁿ (где n - натуральное число), то перевод чисел из одной указанной системы в другую упрощается. В этом случае, при переводе из системы с основанием Y в систему с основанием Z, число разбивается на группы по n чисел в группе. Каждая группа переводится в систему с основанием Z, затем полученные цифры записывают в порядке следования групп. При обратном переводе (из системы с основанием Z в систему с основанием Y) каждая цифра числа (представленная в системе с основанием Z) переводится в систему с основанием Y (по n знаков в каждой группе, при этом недостающие знаки дополняются нулями). В настоящее время в компьютерах используется двоичная система счисления, а для отображения данных (представленных в памяти компьютера) широко используется также шестнадцатеричная система счисления. Так как основания этих систем счисления связаны соотношением Y=Zⁿ (в данном случае 16=2⁴), то перевод чисел из одной указанной системы в другую можно выполнить указанным способом. При переводе двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления можно выполнить следующие действия. Вначале разбиваем двоичное число на группы по 4 разряда (справа налево). Если в последней группе окажется менее четырех разрядов, то недостающие разряды дополняем нулями (слева). Затем каждую группу двоичных разрядов переводят в десятичную систему (при этом, полученные десятичные числа представляют шестнадцатеричными цифрами) и записывают эти цифры в порядке следования групп. Например, при переводе числа 111000111₂ в шестнадцатеричную систему счисления разбивают данную последовательность на группы (дополнив недостающие разряды нулями) 0001₂ 1100₂ 0111₂, затем выполняют перевод в десятичную систему счисления

0001₂=0*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰=0+0+0+1=1,

1100₂=1*2³+1*2²+0*2¹+0*2⁰ =1*8+1*4+0*2+0*1=8+4+0+0=12,

0111₂=0*2³+1*2²+1*2¹+1*2⁰ =0*8+1*4+1*2+1*1=0+4+2+1=7,

то есть, получаем три числа 1₁₀, 12₁₀, 7₁₀. Так как 1₁₀=1₁₆, 12₁₀=C₁₆, 7₁₀=7₁₆, то получаем 111000111₂=1C7₁₆.

Обратный перевод шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления можно выполнить следующим образом. Каждую шестнадцатеричную цифру представляют десятичным числом, которую переводят в двоичную систему (представляя четырьмя разрядами). Получившиеся двоичные числа записывают в порядке их следования. Например, при переводе числа E2₁₆ в двоичную систему счисления это число представляют так: E₁₆=14₁₀, 2₁₆=2₁₀, далее выполняют перевод в десятичную систему счисления 14=1110₂, 2=0010₂ и записывают E2₁₆=11100010₂.

Аналогичным образом можно переводить число, например, из двоичной системы счисления в восьмеричную, но, так как 8=2³, то последовательность бит разбивают на группы по 3 разряда.