Общие сведения о системах счисления

В общем случае система счисления – это приемы обозначения чисел.

Существуют непозиционные (знаковые) системы счисления и позиционные (поместные) системы счисления.

В непозиционной системе счисления числа изображаются набором знаков (цифр), при этом значение одного и того же знака остается неизменным (то есть не зависит от его расположения в числе). Примером такой системы счисления является Римская система счисления, в которой используются, в частности, следующие буквы латинского алфавита: один обозначают буквой «I», пять – «V», десять – «X», пятьдесят – «L», сто – «C», пятьсот – «D», тысяча – «M». Число формируется из этих знаков, при этом, если предыдущая цифра меньше последующей, то производится вычитание (из большей (последующей) цифры вычитается меньшая (предыдущая)), иначе цифры складываются. Например, II=1+1=2, III=1+1+1=3, IV=5-1=4, XVIII=10+5+1+1+1=18, XIX=10+(10-1)=19, XX=10+10=20, XXI=10+10+1=21. Следует отметить, что в непозиционной системе счисления неудобно выполнять арифметические операции над многозначными числами.

В позиционной системе счисления числа также представляются набором знаков (цифр), при этом один и тот же знак имеет различные значения в зависимости от его расположения в числе, то есть позиционная система счисления – это система счисления базирующаяся на позиционном расположении цифр. В зависимости от количества цифр, использующихся в позиционной системе счисления, различают двоичную позиционную систему счисления (содержит две цифры: 0 и 1), троичную позиционную систему счисления (используются три цифры: 0, 1, 2) и другие позиционные системы счисления, среди которых отметим, также, восьмеричную (используется 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) и шестнадцатеричную (используется 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, здесь A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15). Количество цифр, использующихся в конкретной системе счисления, называют основанием данной позиционной системы счисления. Следует отметить, что наибольшая цифра в какой-либо позиционной системе счисления на единицу меньше основания этой позиционной системы счисления.

Как известно, наиболее широкое распространение получила десятичная позиционная система счисления, имеющее основание 10 (то есть используется десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Эта система счисления возникла в середине первого тысячелетия н. э. в Индии, затем распространилась далее, в частности, была описана в рукописях на арабском языке, затем появилась в Европе. В десятичной системе счисления десять единиц младшего разряда объединяются в одну единицу следующего (старшего) разряда и запись производится справа налево (то есть вначале записывают единицы, затем справа от единиц – десятки и т.д.). Проиллюстрируем это простейшим примером. Допустим, некоторые предметы (например, яблоки) упаковали в пакеты по десять яблок в каждый пакет, а пакеты разложили по коробкам (в каждую коробку – по десять пакетов). Всего получилось 2 полных коробки (по 10 пакетов в каждой), осталось 9 полных пакетов (по 10 яблок в каждом) и еще осталось 3 яблока. Сколько было яблок? Это можно записать так: 2*100+9*10+3*1, или 2*10²+9*10¹+3*10⁰, но, как, известно, это число записывают так: 293.

Если в один пакет помещается 16 яблок, а в коробку – 16 пакетов, то разложив эти же 293 яблока по пакетам и коробкам (указанного большего объема) получим 18 полных пакетов (по 16 яблок) и останется еще 5 яблок. Затем, положив пакеты в коробки, получим 1 полную коробку (по 16 пакетов, то есть всего в коробке будет 256 яблок) и останется 2 пакета (по 16 яблок). Таким образом, разложив эти яблоки, получим 1 полную коробку (по 256 яблок), 2 пакета (по 16 яблок) и еще 5 яблок. Это можно записать так: 1*256+2*16+5*1, или 1*16²+2*16¹+5*16⁰, но это число записывают так: 125₁₆. Здесь индекс 16 означает, что число представлено в системе счисления с основанием 16. В этой (шестнадцатеричной) системе счисления шестнадцать единиц младшего разряда объединяются в одну единицу старшего разряда. Таким образом, записи 2*10²+9*10¹+3*10⁰=293 и 1*16²+2*16¹+5*16⁰=125₁₆ определяют одну и ту же величину (в различных системах счисления).

В общем случае, если основание системы X, то в ней X единиц младшего разряда объединяются в одну единицу старшего разряда, то есть натуральное число в системе счисления с основанием X может быть представлено следующим образом:

a_n Xⁿ + a_n-1 X^n-1 +…+a₂ X² +a₁ X¹ +a₀ X⁰ = (a_n a_n-1…a₂ a₁ a₀)_X

Здесь цифра a₀ обозначает количество единиц младшего разряда, цифры a₁ a₂…a_n-1 a_n обозначают количество единиц следующих разрядов. Например:

- в двоичной системе счисления

11000110₂=1*2⁷+1*2⁶+0*2⁵+0*2⁴+0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰

- в троичной системе счисления

21100₃=2*3⁴+1*3³+1*3²+0*3¹+0*3⁰

и так далее

- в восьмеричной системе счисления

306₈=3*8²+0*8¹+6*8⁰

- в десятичной системе счисления

198=1*10²+9*10¹+8*10⁰

- в шестнадцатеричной системе счисления

C6₁₆=C*16¹+6*16⁰

Примечание: наиболее древней позиционной системой счисления, является система с основанием 60, которая в настоящее время, в частности, используется при обозначении единиц измерения времени: 1 час=60 мин, 1 мин=60 сек.