7.1. Диэлектрические спектры
Под дисперсией понимают частотную зависимость диэлектрической проницаемости 
. В широком диапазоне частот, обычно, наблюдается несколько областей дисперсии 
, которые образуют диэлектрический спектр. Исследование дисперсии - один из важных физических методов изучения свойств диэлектриков, позволяющих получить данные о характерных частотах 
и диэлектрических вкладах разных механизмов поляризации 
.
На практике исследуются зависимости 
от частоты, температуры и внешнего поля. Измерения 
и 
сложны. Только в диапазоне от 0.1 Гц до 
еще можно использовать эквивалентные схемы конденсатора, более высокочастотные диапазоны требуют СВЧ и оптических методов [3,6].
Спектр характеризуется рядом параметров:
- дисперсионная частота – соответствует максимуму 
;
- ширина спектра 
- справа и слева от максимума при снижении в два раза отмечает точки на зависимости 
и 
, тогда 
;
- глубина дисперсии определяется относительным вкладом в 
того механизма поляризации, который выключается в процессе дисперсии, т.е. это параметр 
, где 
- диэлектрическая проницаемость при выключении данного механизма поляризации.
Математические закономерности дисперсии, исходя из простых моделей, мы установили в предыдущем разделе. Различают релаксационную дисперсию , когда 
и имеет пологий максимум и резонансную дисперсию, когда 
изменяет знак и имеет острый максимум. Простые уравнения описывают эти два вида дисперсии – уравнение Дебая
(1)
и уравнение Друде – Лорентца
. (2)
Для анализа (1) и (2) их, обычно, видоизменяют, вводя «нормированные» по величине диэлектрического вклада обозначения.
Нормированное уравнение Дебая. Из (1) следует, что 
, а
, обозначим
(3)
или 
, (4)
где 
-дисперсионная частота, отвечающая максимуму поглощения. Уравнение (4) это есть нормированное уравнение Дебая.
Нормированное уравнение Друде – Лорентца.
. (5)
В обоих уравнениях фигурирует 
. Но разные механизмы поляризации связывают эту величину с частотой возбуждения.
Если в диэлектрике в исследуемом диапазоне нет ни релаксационной, ни резонансной дисперсии, то 
не зависит от 
, а 
снижается с ростом частоты, следовательно,
. (6)
Итак, имеем три вида частотных зависимостей 
, это (4),(5), (6).
На практике трудно определить, чем вызвана та или иная дисперсия. Это связано не только с особенностями поляризации диэлектриков, но и с погрешностями измерений и . Часто и слабо изменяются с частотой в широком диапазоне частот, т.е. релаксационная поляризация приводит к размытому дисперсионному спектру, отвечающему наличию некоторого количества релаксаторов. Релаксаторы отличаются собственными частотами. Любое их распределение ведет к расширению области дисперсии .
7.2.. Размытый релаксационный спектр
Определим основные параметры релаксационного спектра, описываемого уравнением (4). Разделяя действительную и мнимую части имеем
, (7)
где 
. Из (7) следует, что максимум 
соответствует Х=1, т.е. 
=0.5. Ширина спектра определяется параметром 
, где на уровне 0.5 от максимума , т.е. при =0.25.Таким образом, при 
или 
ширина спектра в случае одного вида релаксоров (спектр не размытый) составляет 
. Уравнение Дебая в координатах 
можно представить в таком виде
. (8)
Это выражение есть ни что иное, как уравнение окружности. На такую особенность уравнения Дебая впервые обратили внимание К.Коул и Р. Коул [3,5]. Диаграммы Коул – Коула в нормированных и обычных координатах выглядят так, как показано на рисунке 7.1. Когда дисперсия хорошо описывается уравнением Дебая, экспериментальные точки ложатся на полуокружность. Если исследования проведены не во всем диапазоне частот, то диаграмма Коул – Коула позволяет провести аппроксимацию, что является несомненным достоинством методом диаграмм Коул – Коула. Если в диэлектрике могут протекать процессы поляризации с различным временем 
,
Рисунок 7.1. – Диаграммы Коул – Коула:
то диэлектрический спектр расширятся, что является следствием взаимодействия релаксирующих частиц. Для такого случая используется эмпирическое уравнение, которое в нормированном виде записывается следующим образом
, (9)
где 
- средне время релаксации,
- параметр, характеризующий распределение времени релаксации.
Значение находится по экспериментальным данным из построения диаграмм . На диаграмме уравнение (9) описывает полуокружности, центр которых смещении вниз по оси на 
, а радиус 
, как показано на рисунке 7.1. Значение определяется по величине угла между осью 
и радиусом окружности. Параметр - эмпирический и не имеет определенного молекулярного обоснования, тем не менее, метод Коул – Коула широко используется, когда времена релаксации сгруппированы симметрично относительно среднего значения . Многочисленные эксперименты показывают, что релаксационный спектр дисперсии малочувствителен к распределению или взаимодействию релаксаторов, что объясняет почти универсальную возможность использования уравнения Дебая.
7.3. Размытый резонансный спектр
Частотная зависимость в диэлектриках в случае резонансной поляризации, обычно, описывается одним дисперсионным осциллятором с затуханием – уравнением Друде – Лорентца (5). Обозначим 
и, нормируя 
на величину диэлектрического вклада осциллятора 
и после разделения и , из (5) при любом факторе потерь Г получим
. (10)
Максимум и минимум функции 
определяется так
при 
.
При 
максимум функции 
отсутствует, однако, минимум не исчезает при любых значениях Г. Этот минимум является отличительной особенностью резонансных спектров. Максимум 
имеет место на частоте
. (11)
Из (11) следует, что только при 
можно считать, что 
определяет истинную частоту осциллятора. Зависимости и при разных значениях Г приведены на рисунке 7.2. Видно, как по мере роста затухания размываются как , так и . Важной задачей исследования дисперсии и обработки данных эксперимента является определение основных параметров уравнения Друде – Лорентца, т.е. величин 
Первые два значения определяются из зависимости 
на тех частотах, где потери малы, т.е. вдали от резонансной частоты на низкой и высокой частотах. Определение 
- более сложная задача. При малых затуханиях 
определяется по максимуму функции 
, а Г – по положению минимума зависимости на некоторой частоте и известной частоте из соотношения 
.
| 
|
Рисунок 7.2. - Частотная зависимость и
В заключение отметим, что релаксационные спектры, обычно, наблюдаются в низкочастотном диапазоне до частот порядка 
, а резонансные – в инфракрасном и ультрафиолетовом диапазонах.
