Простейшие понятия стереометрии

I. Наклонная, перпендикуляр, проекция.

-перпендикуляр, - основание перпендикуляра,

- наклонная, - проекция,

- угол между прямой и плоскостью есть угол между прямой и её проекцией на плоскость.

, .

1. Наклонная больше перпендикуляра, проведенного из той же точки.

2. Равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот.

3. Из двух наклонных больше та, у которой больше проекция, и наоборот.

II. Расстояние от точки до плоскости , уравнение которой записано в общем виде равно .

Если многоугольник площади проектируется на плоскость в многоугольник площади , то площадь проекции вычисляется по формуле:

где - угол между плоскостями и .

I. Многогранники. Их вершины, ребра, грани, диагонали.

Многогранник есть пространственная фигура, ограниченная конечным числом плоских многоугольников. Вершины этих многоугольников называются вершинами многогранника, их ребра – ребрами многогранника. Диагональ многогранника есть отрезок, соединяющий две его вершины, не лежащие в одной грани.

II. Прямая и наклонная призма.

Многогранник называется призмой, если две его грани, называемые основаниями, есть равные многоугольники, а ребра, не лежащие в этих гранях, называемые боковыми ребрами, равны и параллельны.

, , где - периметр перпендикулярного сечения.

- объём наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения.

Призма называется прямой, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований.

;

Прямая призма называется правильной, если её основания есть правильные многоугольники.

;

III. Параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основания которой – параллелограммы.

Параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники, называется прямоугольным.

; ;

, , - три измерения параллелепипеда, - диагональ.

IV. Куб.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

; .

- ребро куба.

V. Пирамида.

Пирамида есть многогранник, одна грань которого, называемая основанием, есть многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину, называемую вершиной пирамиды, не принадлежащую этому многоугольнику.

;

Треугольная пирамида называется тетраэдром.

где , , , - высоты, - радиус вписанного в тетраэдр шара.

Пирамида называется правильной, если её основание есть правильный многоугольник, а вершина проектируется в центр основания. Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.

, ; ;

, - апофема.

Если все ребра треугольной ( -угольной) пирамиды наклонены к основанию под одинаковым углом или все боковые ребра равны, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания.

Если все боковые грани треугольной пирамиды образуют равные двугранные углы с плоскостью основания, то высота пирамиды проектируется, либо в центр вписанной окружности, либо в центр одной из вневписанных окружностей основания.

VI. Усеченная пирамида.

, , -площади оснований.

Усеченная пирамида называется правильной, если её основания есть правильные многоугольники. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой.