Розглянемо ряд з додатними членами

(1)

Якщо існує границя , то

1) ряд (1) збігається, якщо

2) ряд (1) розбігається, якщо

3) якщо , то питання про збіжність ряду (1) залишається відкритим (треба використати інші ознаки).

Приклади: Дослідити ряди на збіжність.

1.

Розв’язання.

Знаходимо: , отже, ряд збіжний.

2.

 

Розв’язання.

 

Знаходимо: ,

тому що , отже, ряд є розбіжним.

 

Інтегральна ознака Коші

 

Нехай члени ряду (1)

додатні і не зростають, тобто , і існує така неперервна функція , що .

Тоді:

1) якщо невластивий інтеграл збігається, то збігається і ряд (1);

2) якщо інтеграл розбігається, то і ряд (1) є розбіжним.

 

Приклад. Дослідити на збіжність ряд Діріхле: .

Розв’язання. Розглянемо функцію

а) Нехай

, тому що ,

отже ряд є розбіжним.

б) Нехай

тому що , у цьому випадку ряд збігається.

 

в) Нехай

, ряд розбігається.

Отже, ряд збігається, якщо і розбігається, якщо

 

Приклади. Дослідити ряди на збіжність за допомогою інтегральної

ознаки Коші.

1)

Розвязання. Складемо функцію і інтеграл

(нижня межа інтегрування є найменшим значенням n).

Інтеграл збігається, отже, і ряд є збіжним.

 

 

2)

 

Розв’язання. досліджуємо інтеграл Отже ряд збігається.

 

3)

Розв’язання. досліджуємо інтеграл:

.

 

Інтеграл розбігається, отже, і ряд є розбіжним.

 

Завдання для самостійної роботи

 

Дослідити ряди на збіжність за допомогою інтегральної ознаки Коші.

 

 

 

Знакопереміжні ряди

Ознака Лейбниця

Знакозмінним називається такий числовий ряд, серед членів якого є як додатні, так і від’ємні.

Частковим випадком знакозмінних рядів є знакопереміжні ряди, тобто такі ряди, в яких знаки членів строго чергуються, або ряди вигляду:

 

(1)

 

(2), де

- додатні числа.

 

Теорема Лейбниця. Якщо у знакопереміжному ряді (1) члени ряду спадають і , то ряд (1) є збіжним, його сума S додатна і .

 

Окрім знакопереміжного ряду (1) можна також розглядати ряд з модулів його членів

(3)

Якщо ряд (3) збіжний, то ряд (1) також є збіжним.

Збіжність знакопереміжного ряду називається абсолютною, якщо збігається також ряд (3) з модулів його членів. Якщо ряд (1) збігається, але ряд (3) розбігається, то збіжність знакопереміжного ряду називається умовною.

Приклади. Дослідити ряди на абсолютну або умовну збіжність.

1.

Розв’язання. Складемо ряд з модулів , досліджуємо його за ознакою Даламбера.

 

Знаходимо: .

отже, ряд з модулів збігається, а це означає, що даний знакопереміжний ряд збігається абсолютно.

 

2.

 

Розв’язання. Ряд з модулів досліджуємо за ознакою порівняння.

Ряд порівняння - гармонічний ряд, який є розбіжним.

 

Знаходимо: , отже, ряд з модулів розбігається.

За ознакою Лейбниця , а це означає, що знакопереміжний ряд збігається умовно.

 

 

Завдання для самостійної роботи

Дослідити ряди на абсолютну або умовну збіжність.

 

 

 

Література: [ 1 ], гл. XVI, § 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

 

[ 2 ], гл. ІІІ, § 1.

 

ТДАТУ

Кафедра вищої математики