(1)
Якщо існує границя 
, то
1) ряд (1) збігається, якщо 
2) ряд (1) розбігається, якщо 
3) якщо 
, то питання про збіжність ряду (1) залишається відкритим (треба використати інші ознаки).
Приклади: Дослідити ряди на збіжність.
1. 
Розв’язання. 
Знаходимо: 
, отже, ряд збіжний.
2. 
Розв’язання. 
Знаходимо: 
,
тому що 
, отже, ряд є розбіжним.
Інтегральна ознака Коші
Нехай члени ряду (1)
додатні і не зростають, тобто 
, і існує така неперервна функція 
, що 
.
Тоді:
1) якщо невластивий інтеграл 
збігається, то збігається і ряд (1);
2) якщо інтеграл розбігається, то і ряд (1) є розбіжним.
Приклад. Дослідити на збіжність ряд Діріхле: 
.
Розв’язання. Розглянемо функцію 
а) Нехай 
, тому що 
,
отже ряд є розбіжним.
б) Нехай 
тому що 
, у цьому випадку ряд збігається.
в) Нехай 
, ряд розбігається.
Отже, ряд 
збігається, якщо 
і розбігається, якщо 
Приклади. Дослідити ряди на збіжність за допомогою інтегральної
ознаки Коші.
1) 
Розвязання. Складемо функцію 
і інтеграл 
(нижня межа інтегрування є найменшим значенням n).
Інтеграл збігається, отже, і ряд є збіжним.
2) 
Розв’язання. 
досліджуємо інтеграл 
Отже ряд збігається.
3) 
Розв’язання. 
досліджуємо інтеграл:
.
Інтеграл розбігається, отже, і ряд є розбіжним.
Завдання для самостійної роботи
Дослідити ряди на збіжність за допомогою інтегральної ознаки Коші.
Знакопереміжні ряди
Ознака Лейбниця
Знакозмінним називається такий числовий ряд, серед членів якого є як додатні, так і від’ємні.
Частковим випадком знакозмінних рядів є знакопереміжні ряди, тобто такі ряди, в яких знаки членів строго чергуються, або ряди вигляду:
(1)
(2), де
- додатні числа.
Теорема Лейбниця. Якщо у знакопереміжному ряді (1) члени ряду спадають 
і 
, то ряд (1) є збіжним, його сума S додатна і 
.
Окрім знакопереміжного ряду (1) можна також розглядати ряд з модулів його членів
(3)
Якщо ряд (3) збіжний, то ряд (1) також є збіжним.
Збіжність знакопереміжного ряду називається абсолютною, якщо збігається також ряд (3) з модулів його членів. Якщо ряд (1) збігається, але ряд (3) розбігається, то збіжність знакопереміжного ряду називається умовною.
Приклади. Дослідити ряди на абсолютну або умовну збіжність.
1. 
Розв’язання. Складемо ряд з модулів 
, досліджуємо його за ознакою Даламбера.
Знаходимо: 
.
отже, ряд з модулів збігається, а це означає, що даний знакопереміжний ряд збігається абсолютно.
2. 
Розв’язання. Ряд з модулів 
досліджуємо за ознакою порівняння.
Ряд порівняння 
- гармонічний ряд, який є розбіжним.
Знаходимо: 
, отже, ряд з модулів розбігається.
За ознакою Лейбниця 
, а це означає, що знакопереміжний ряд збігається умовно.
Завдання для самостійної роботи
Дослідити ряди на абсолютну або умовну збіжність.
Література: [ 1 ], гл. XVI, § 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
[ 2 ], гл. ІІІ, § 1.
ТДАТУ
Кафедра вищої математики
