Предел ф-ции нескольких переменных

Пусть на множестве Х-Rⁿ задана ф-цияf(p) и пусть p₀- предельная точка для Х. Число а называется пределом ф-цииf в точке p₀, если для любой сходящейся к p₀ последовательности {p_n}, где все p_n≠p₀, соответствующая числовая послед-ть {f(p_n)} сходится к числу а. Запись: limf(p)=a при pк p₀

28. Непрерывность ф-ции нескольких переменных. Ф-цияf(p), определенная на множестве ХϵRⁿ, называется непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой точке множества Х.

Ф-цияf(p), определенная на множестве ХϵRⁿназывается непрерывной в точке p₀ϵХ, еслиlimf(p)=f(p₀) pкp₀

30. Частной производной ф-ции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения ф-ции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.

Z’_x=lim∆_xZ/∆x=lim(f(x₀+∆x,y₀)-f(x₀,y₀))/∆xпри ∆х к нулю

Z’_y=lim∆_yZ/∆y=lim(f(x₀,y₀+∆y)-f(x₀,y₀))/∆yпри ∆y к нулю

31.Дифференцируемость функции нескольких переменных Ф-цияz=f(x,y) называетсядифференцируемойвточке (x₀,y₀), еслиееполноеприращениеможнопредставитьввиде: ∆z=f(x,y)-f(x₀,y₀)=f’_x(x₀,y₀)∆x+ f’_y(x₀,y₀)∆y+eρ, либо ∆z=dz+ eρ, гдее=е(∆x,∆y)- ф-циябесконечномалаяпри ∆x→0,∆y→0; ρ=√((∆x)²+∆y²)-расстояниеотточки (x,y) доточки(x₀,y₀)

32. Дифференциал функции нескольких переменных. Полный дифференциал ф-циивыполняет роль линейного приближения и определяется как сумма произведений частных производных ф-ции на приращения независимых переменных: dz=z’x∆x+z’y∆y

33. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных. Если частные производные f’x(x,y) и f’y(x,y) определены в окрестности точки (x₀,y₀), то ф-цияz=f(x,y) дифференцируема в этой точке

34. Непрерывность дифференцируемой функции. Если ф-цияz=f(x,y)дифференцируема в точке (x₀,y₀), то она непрерывна в этой точке.

35. Однородные функции. Ф-ция z(x;y) называется однородной степени α, если для любой точки (х;у) из области определения и переменной t выполняется равенство z(tx;ty)= t^α z(x;y).

Пусть D из Rⁿ – область в Rⁿ, содержащая с каждой своей точкой (x1, x2, …., xn) и все точки вида (tx1, tx2, …., txn) при t>0 ф-ция f(x1, x2, …., xn) с такой областью определения D называется однородной степени λ, если для любого t>0 выполнятся равенство f (tx1, tx2, …., txn)=tλ f(x1, x2, …., xn).

36. Формула Эйлера для однородной функции. f’x(tx, ty)x+f’y(tx, ty)y=λt^λ-1f(x,y)

Положив здесь t=1,получим формулу Эйлера:

f’x(x, y)x+f’y(x, y)y=λf(x,y)

38. Производная по направлению. Производной ф-цииf(x,y) в точке (x₀,y₀)по направлению е(стрелка сверху)называется предел: (δf(x₀,y₀))/δе↑=lim ((f(x₀ +te_x, y₀+te_y)-f(x₀,y₀))/t) где t→0+0

39. Градиент. Свойства градиента Градиентом ф-ции z= f(x,y) в точке M(x,y) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным, взятым в точке M(x,y).

Grad f(M)=(f’x(M),f’y(M)). Градиент указывает направление наискорейшего роста ф-ции, а максимальная скорость роста равна модулю градиента.

│Gradf(M)│=δf(M)/δe

Положимѱ(t)=f(p+tv), p,vϵRⁿ, тогдаѱ’(0)=(gradf(p),v)

Градиент ф-цииgradf(M) является вектором нормали касательной к линии уровня в точке М

Градиент ф-цииf(x,y,z) является вектором нормали касательной плоскости к поверхности уровня ф-ции в точке М

41. Теорема о равенстве смешанных производных. Если производные z’’_xyиz’’_yx существуют в некоторой окрестности точки M(x₀,y₀) bи непрерывны в самой точке М, то имеет место равенство z’’_xy=z’’_yx

43. Локальные экстремумы функций нескольких переменных. Точка а↑ называется точкой локального максимума (мин) ф-цииf(x↑), если существует такая е-окрестность U_e(a↑)={x↑ϵRⁿ:│x↑-a↑│<e}точки а↑, в которой для любой точки х↑ϵU_e(a↑) выполняется равенство f(x↑)≤f(a↑) (f(x↑)≥f(a↑)). Точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума или просто точками экстремума.

44. Необходимое условие локального экстремума функций нескольких переменных. Для того, чтобы дифференцируемая ф-цияf(x↑) имела локальный экстремум точки а↑, необходимо чтобы все ее частные производные первого порядка в этой точке были равны 0. Пусть ф-цияf(x↑) имеет в окрестности точки своего локального экстремума а↑ непрерывные частные производные второго порядка, тогда: если а↑-точка лок мин, то d²f_a↑неотрицат определенная квадрат форма. (для пол наоборот)

40. Частные производные высших порядков. Частные производные от функций f’_x(x,y) и f’_y(x,y) называют частными производными второго порядка от ф-цииf(x,y).Частные производные от частных производных второго порядка называют частными производными третьего порядка от ф-ции. Частные производные второго порядка z’’_xyиz’’_yxназывают смешанными частными производными.

45. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных. Пусть ф-цияnпеременных f(x↑) имеет в окрестности своей стационарной точки а↑ непрерывные частные производные второго порядка, тогда: если квадр форма d²f_a↑пол определена, то а↑- точка лок мин f (для пол наоборот).

Пусть ф-цияf(x,y) имеет непрчастнпроизв второго порядка в некоторой окрестности своей стационарной точки P. Положим ∆=detf’’(P)=f’’_xx(P) f’’_yy(P)-(f’’_xy(P))²тогда если ∆>0, то в точке Рф-ция имеет лок экстремум, при чем f’’_xx(P)<0-лок макс, f’’_xx(P)>0- лок мин; если ∆<0, то в точке Р нет экстремума

46. Условный экстремум. Точка х*↑ϵХ называется точкой условного локального максимума (мин) ф-цииf, если для всех достаточно близких к ней точек х↑ϵХ выполняется неравенство: f(x↑)≤ f(x*↑) f(x↑)≥f(x*↑)- точки условного экстремума

47. Метод Лагранжа: Дано: f(x,y) и g(x,y).

1) L(x,y,λ)= f(x,y)+λg(x,y).

2) деL/деx=0

деL/деу=0 из этого находим стационарную точку (х*; у*)

деL/деλ=0

3) а) Если (х*; у*) - единственная стационарная точка, то нужно взять произвольную точку (х₁; у₁), удовлетворяющую соотношению g(x₁;y₁)=0 и вычислить f(x*;y*) иf(х₁; у₁) и сравнить между собой, далее сделать выводЕсли(х*; у*) - maxили min

б) Если несколько стационарных точек, тогда нужно вычислить значение ф-цииfв этих точках и сделать вывод, кто min, ктоmax.

48. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве. Дифференциальнаяф-ция на ограниченном и замкнутом множестве может принимать наименьшее и наибольшее значение, либо в критических точках внутри этого множества, либо на границе этого множества.

 

50. Сведение кратного интеграла к повторному: если ф-цияf(x,y) интегрируема в области G и при любом фиксированном xиз [a,b] существует интеграл ⌠_g1(x)^g2(x)f(x,y)dxdy=⌠^b_a{⌠_g1(x)^g2(x)f(x,y)dy}dx

55. Послед-ть частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды. Суммы конечного числа первых членов рядаS₁=a₁, S₂=a₁ + a₂, S_n=a₁+a₂+…+a_nназывают частичными суммами ряда а₁+а₂+а₃+….+а_п+….=сумме а_п. Т.к. число членов ряда бесконечно, то частичные суммы образуют числовую послед-тьS₁, S₂, …., S_n, ….. Ряд а₁+а₂+а₃+….+а_п+….=сумме а_п называют сходящимся, если послед-тьS₁, S₂, …., S_n, …..его частичных сумм сходится к некоторому числу S называют суммой ряда а₁+а₂+а₃+….+а_п+….=сумме а_п. В противном случае ряд называют расходящимся.

57. Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю. Док – во. Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S. Для любого натурального n имеем S_n=S_n-1+a_n, или a_n=S_n-S_n-1. При n→∞ обе части суммы S_n иS_n-1 стремятся к пределу S_, поэтому из равенства a_n=S_n-S_n-1 следует, что lim_n→∞a_n= lim_n→∞S_n- lim_n→∞S_n-1=S-S=0. Подчеркиваем еще раз, что мы установили, только необходимое условие сходимости ряда, т.е. условие при на рушении которого ряд не сможет сходиться. С помощью этого признака можно доказывать только расходимость ряда.

58. Числовые ряды с неотрицательными членами. Числовой ряд называется рядом с положительными членами, если общий член ряда ап >0 для любого n=1,2,....Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы послед-ть его частичных сумм была ограничена.

59. Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами. Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

 

 

60. Признаки сравнения, Даламбера и Коши: Если для ряда с положительными членами a₁+a₂+….+a_n+…. Существует такое число q<1, что при всех n(или, начиная с некоторого n) выполняется неравенство a_n+1/a_n<q, то ряд сходится. Если же a_n+1/a_n>1 для всех или начиная с некоторогоn,то ряд расходится.

Признак Коши: Если существует предел lim_n→∞a_n+1/a_n=d, то ряд сходится в случае d<1, расходится в случае d>1.

Интегральный признак: Пусть неотрицательная ф-цияy=f(x) определена и монотонно убывает для x>1. Тогда для сходимости ряда f(1)+f(2)+…+f(n)+… необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл ∫₁^∞f(x)dx

Первый признак сравнения: Пусть даны два ряда с положительными членами: a₁+a₂+….+a_n+…. И b₁+b₂+….+b_n+…., причем члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго: a_n<b_n (n= 1, 2,….). Тогда из сходимости второго ряда («большего») следует сходимость первого ряда («меньшего»). Эквивалентно из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего ряда.

Второй признак сравнения: Если для рядов a₁+a₂+….+a_n+…. И b₁+b₂+….+b_n+….,с положительными членами существуют отличный от нуля предел отношения limn→∞a_n/b_n=u, то ряды a₁+a₂+….+a_n+…. И b₁+b₂+….+b_n+…. Сходятся или расходятся одновременно.

61. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Особенно часто среди знакопеременных рядов встречаются ряды члены которых имеют чередующиеся знаки, т.е. знакочередующиеся ряды. Знакочередующийся ряд в общем виде записывается так: а₁-а₂+а₃-а₄+….+(-1)^п-1а_п+…, где а_п – положительны. Ряд a₁+a₂+….+a_n+…. Называют, условно сходящимся, если он сходится, а ряд составленный из модулей его членов, расходится. Абсолютно сходящийся ряд, т.е. такой, для которого ряд из модулей его членов сходится.

62. Признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов. Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, когда n→∞, то 1) ряд сходится 2) любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет одинаковый с ним знак.

64. Теорема Абеля. Если степенной ряд a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+… сходится при некотором х=х₀, не равном нулю, то он сходится, и притом абсолютно, при всех х, удовлетворяющих условию |х|<|x₀|; Если ряд a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+… расходится при некотором х=х₁, то он расходится при всех х, удовлетворяющих условию |х|>|x₁|

65. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Теорема: Для степенного ряда a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+… возможны только три случая: 1) ряд сходится только в единственной точке х=0; 2) ряд сходится для всех значений х; 3) существует такое R>0, что ряд сходится для всех значений х из интервала (-R;R) и расходится для всех значений х вне отрезка [-R;R].

Определение: интервал (-R;R) называют интервалом сходимости ряда a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+…, число R –радиусом сходимости этого ряда.

66. Интегрируемость и дифференцируемость суммы степенного рядана интервале сходимости. Пусть ф-ция разлагается на интервале (-R;R) в степенной ряд f(x)=a₀+ a₁x+ a₂x²+..+ a_nxⁿ+..(1)Рассмотрим степенной ряд a₁+ 2a₂x+..+na_nx^n-1+..(2) полученный почленным дифференцированием ряда:

1)ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд (1)

2) на всем интервале (-R,R) ф-цияf(x) имеет производную f’(x), которая разлагается в степенной ряд (2)

Следствие: ф-цияf(x), которая разлагается в степенной ряд (1)на интервале (-R,R), бесконечно диф на этом интервале. Разложение в степенной ряд для любой производной получается почленным дифференцированием ряда (1). При этом радиусы сходимости рядов раны радиусу сходимости ряда.

Если ф-цияf(x) разлагается в степенной ряд на интервале (-R,R), то она интегрируема на этом интервале. Интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда: ⌠^x2_x1f(x)dx=⌠^x2_x1a₀+ a₁x+ a₂x²+..+ a_nxⁿ+.dx=⌠^x2_x1 a₀+⌠^x2_x1 a₂ x²dx+…⌠^x2_x1 a_nxⁿdx+..

69. Разложение в ряд Маклорена функций e^x=1+x+(x²/2!)+(x³/3!)+…+(xⁿ/n!)+…

Sinx=x-(x³/3!)+(x⁵/5!)-…+(-1)ⁿ(x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!)+…

Cosx=1-(x²/2!)+(x⁴/4!)-…+(-1)ⁿ(x²ⁿ/(2n)!)

1/1+x=1-x+x²-x³+…+(-1)ⁿxⁿ+…(r=1)

Ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-x4/4+…+(-1)ⁿ(xⁿ⁺¹/n+1)

(1+x)^b=1+b/1!x+(b(b-1)x²)/2!+…+(b(b-1)…(b-n+1)xⁿ)/n!+…

63. Степенные ряды. Ряд вида a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+…, гдеa₀, a₁, a₂, …,a_n, … - некоторая числовая послед-ть, называют степенным рядом.

70. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка в нормальной форме. Если в некоторой окрестности точки (х₀;у₀) ф-цияf(x,y) определенная, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f’_y, то существует такая окрестность точки (х₀;у₀), в которой задача Коши y’=f(x,y), y(x₀)=y₀имеет решение, притом единственное.

71. Уравнения с разделяющимися переменными. Автономные уравнения. Одним из наиболее простых, но весьма важных типов дифференциальных уравнений являются уравнения с разделяющимися переменными. Это дифференциальные уравнения вида: y’=f(x)g(y), где f(x) и g(y) – непрерывные ф-ции.

Одним из важных частных случаев дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными являются так называемые автономные уравнения. Это уравнения вида: y’=g(y).

72. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение y’+p(x)y=0 называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению y’+p(x)y=f(x).

73. Уравнения в полных дифференциалах. Диф уравнения в симметрической форме N(x,y)dx+M(x,y)dy=0, где N(x,y) и M(x,y) непрерывные в некоторой области Dф-ции, называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая непрерывно дифф-цияU(x,y), что dU= N(x,y)dx+M(x,y)dy

75. Линейные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского системы решений Дифференциальное уравнение n-го порядка, называется линейным. Если оно имеет вид yⁿ+a₁xy^n-1+a₂xy^n-2+…+a_nxy=f(x), где a₁x, a₂x, …, a_nx, f(x) – непрерывныеф-ции.

W(y₁, y₂,…,y_k)=|y₁ y₂ …. Y_k|

|y’₁y’₂ …. Y’_k|

|.. …………… |

|y₁^(k-1)y₂^(k-1) …. Y_k^(k-1)|

Систему уравнений y₁(x),…., y_n(x), состоящую из n линейно зависимых решений уравнений L(y)=0, будем называть фундаментальным набором решений этого уравнения.

74. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Дифференциальное уравнение вида y’+p(x)y=f(x)yⁿ (n≠0, n≠1) называется уравнением Бернулли.

76. Общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (для уравнений второго порядка). 1 случай: y=C₁e^λx+C₂е^λx2 случай: у=е^ах(С₁cosβx+C₂sinβx) 3 случай: y=e^λx(C₁+C₂x)

77. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. y=x^le^ax(P_m(x)cosbx+Q_m(x)sinbx)