Определение неопределенного интеграла.
Если F(x)-первообразная для f(x), то выражение F(x)+C, где С-произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от ф-цииf(x).(⌠f(x)dx=F(x)+C)
Таблица основных интегралов
1) ∫dx=x+C
2) ∫xadx=(xa+1)/(a+1)+C
3) ∫dx/x=ln|x| +C
4) ∫axdx=(ax/lna)+C
5) ∫cosx=sinx + C
6) ∫sinx=-cosx + C
7) ∫dx/cos2x=tgx+C
8) ∫dx/sin2x= -ctgx + C
9) ∫dx/(√a2+x2)=(arcsinx/a)+C
10) ∫dx/(a2+x2)=(1/a)arctg(x/a) + C
11) ∫dx/(x2-a2)=(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)|+C
12) ∫dx/√(x2+K)=ln|x+√(x2+K)|+C
5. Формула замены переменной в неопределенном интеграле. Пусть ф-цияx=ѱ(t) определена и дифференцируема на промежутке T иX-множество ее значений, на котором определена ф-цияf(x). Тогда если F(x)-первообразная для f(x) на X, то F(ѱ(t))-первообразная для f(ѱ(t)) ѱ’(t)на T, т.е. на множестве T выполняется равенство: ⌠f(x)dx│x=ѱ(t)=⌠f(ѱ(t)) ѱ’(t)dt
6. Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
Пусть u(x) и v(x)-две дифференцируемые ф-ции на промежутке X. Тогда на X выполняется формула интегрирования по частям: ⌠udv=uv-⌠vdu
Интеграла Римана.
Ф-цияy=f(x), ограниченная на отрезке [a,b], называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений отрезка [a,b]. Если ф-цияy=f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то единственное число, разделяющее эти два множества, называют определенным интегралом ф-цииy=f(x) по отрезку [a,b] и обозначают следующим образом: I=⌠baf(x)dx
Достаточное условие интегрируемости.
Для того, чтобы ф-цияy=f(x), определенная и ограниченная на отрезке[a,b], была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого e>0, существовало разбиение T, такое, что ST-sT<e
9. Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции ограниченной линиями x=a,x=b при b>a, осью Ох и графиком неотрицательной непрерывной ф-цииy=f(x)
11. Формула Ньютона - Лейбница. Пусть ф-цияy=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x)-первообразная для f(x). Тогда ⌠baf(x)dx=F(b)-F(a)
12.Формула замены переменной в определенном интеграле. Пусть ф-цияy=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а ф-ция х=ѱ(t) определена на отрезке[α,β]и имеет непрерывную производную внутри этого отрезка, причем ѱ(α)=a, ѱ(β)=bи ѱ([α,β])=[a,b]. Тогда ⌠baf(x)=⌠βαf(ѱ(t)) ѱ’(t)dt
13. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.⌠ baudv=uv│ba-⌠bavdu
14. Определение несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом. Пусть ф-цияy=f(x) интегрируема на каждом конечном отрезке [a,b] (b>a). Тогда за несобственный интеграл ⌠+∞af(x)dx принимают предел ф-цииI(b)= ⌠baf(x)dx, когда b стремится к бесконечности:⌠+∞af(x)dx=lim⌠baf(x)dx (bк +∞)
15. Определение несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом. Пусть ф-цияy=f(x) интегрируема на каждом конечном отрезке [a,b] (b>a). Тогда за несобственный интеграл ⌠b-∞f(x)dx принимают предел ф-цииI(a)= ⌠baf(x)dx, когда a стремится к бесконечности:⌠b-∞f(x)dx=lim⌠baf(x)dx (aк -∞)
18.Расстояние в 
. Свойства расстояния. В R1:расстояние между точками x1иx2 равно │x1 –x2│
R2:P(x1,y1) иQ(x2,y2), то ρ(P,Q)=√(y1 - x1)2+(y2 –x2)2)
R3: P(x1,y1,z1) иQ(x2,y2,z2), тоρ(P,Q)=√(x1 –x2)2+(y1– y2)2+((z1– z2)2)
Rn: ρ(p,q)=│p-q│=√(x’1 –x’’1)2+…+(x’n– x’’n)2)
Свойства:
1.1. Ρ(p,q)>0, если p≠qи ρ(p,p)=0
1.2. Ρ(p,q)=Ρ(q,p)
1.3. Ρ(p,q)+Ρ(q,r)≥ Ρ(p,r)
19. Окрестность точки в 
. Пусть p0- точка в Rnи е-положительное число. Открытым шаром, или просто шаром радиуса е с центром p0называется множество всех точек, расстояние которых от p0меньше е:{pϵRn│ρ(p0,p)<e}. Шар радиуса e с центром p0, обозначаетсяB(p0,e) или U(p0). Множество Ue(p0) называют e-окрестностью точки p0
20. Внутренние и граничные точки множества. Пусть Х-множество в пространстве Rn. Точка p называется:
-внутренней точкой множества Х, если она содержится в Х вместе с некоторой своей е-окрестностью
-внешней точкой по отношению к Х, если она является внутренней для дополнения Х в Rn
- граничной точкой для Х, если она не является ни внутренней, ни внешней точкой для Х, иначе говоря, если любая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие Х, так и точки.не принадлежащие Х
21. Открытые и замкнутые множества. МножествоD называется открытым, если все его точки внутренние (замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки).
Множество {M} называется замкнутым, если все граничащие точки принадлежат этому множеству.
22. Изолированные и предельные точки множества. Точка М0 называется предельной точкой множества {M}, если в любой ее окрестности существуют точки множества {M}, отличные от М0
Точка p0 ϵХ называется изолированной точкой множества Х, если у нее существует е-окрестность, в которой никаких других точек из Х кроме p0, нет.
23. Ограниченные множества. Множество XϵRn называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре. (Пусть p0- точка в Rnи е-положительное число. Открытым шаром, или просто шаром радиуса е с центром p0называется множество всех точек, расстояние которых от p0меньше е:{pϵRn│ρ(p0,p)<e}.)
24. Сходимость последовательности точек в Rn, ее эквивалентность покоординатной сходимости. Пусть {pn}- послед-ть точек в Rn. Эта послед-ть сходится к точке po, если числовая послед-ть {ρ(pn,p0)} имеет предел 0.Пусть p1=(x1,y1), p2=(x2,y2),…-послед-ть точек в R2. Мы скажем, что эта послед-ть сходится к точке p0=(x0,y0), если числовая послед-тьx1,x2,… сходится к числу x0, а числовая послед-тьy1,y2,…- к числу y0.
