б) уравнения сторон AB, BC, CD и DA

Сделайте чертеж.

Решение.

1. Найдем уравнение прямой, на которой лежит AC – вторая диагональ квадрата. Вспомним, что уравнение любой невертикальной прямой может быть приведено к виду y = kx + b, где параметр k – угловой коэффициент этой прямой.

В силу свойства 1) диагоналей квадрата угловые коэффициенты k_A _C и k_BD прямых AC и BD связаны соотношением:

k_A _C· k_BD =-1 (1)

Найдем угловой коэффициент k_BD. Для этого выразим y через x из данного уравнения прямой BD:

х +3 у -13=0,

у =-¹/₃ х +¹³/₃,

Итак, . Поэтому из соотношения (1) получим, что k_АС =3.

Теперь уже легко найти уравнение прямой AC. Нам известны координаты её точки А и угловой коэффициента k_A _C. Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

Подставим в это уравнение числовые данные нашей задачи: х_А =-3, у_А =2, k_АС =3. Получим: или (после упрощений)

AC:3 х - у +11=0.

2. С помощью свойства 2) диагоналей квадрата найдем координаты центра Е квадрата – точки пересечения его диагоналей.

Поскольку точка Е лежит на диагонали АС, её координаты удовлетворяют прямой АС; аналогично рассуждая, получим, что координаты точки Е должны одновременно удовлетворять и уравнению прямой BD. Таким образом, координаты точки Е должны удовлетворять системе из уравнений прямых АС и BD

(первое - уравнение прямой BD, второе – прямой АС). Далее, почленно вычитая первое уравнение из второго, получим:

, значит

х =-2.

Подставим найденное значение х в любое из уравнений системы, например, в первое. Найдем, что у =5.

Итак, мы нашли координаты точки Е, центра квадрата: -2 5, то есть Е (-2; 5).

3. Найдем длину отрезка АЕ – половину диагонали квадрата, а затем воспользуемся тем, что и остальные вершины квадрата находятся от его центра на таком же расстоянии (свойства 2) и 3) диагоналей), т.е. что все вершины квадрата лежат на окружности радиуса АЕ с центром в точке Е.

Подставив в правую часть этой формулы числовые значения координат точек А и Е, получим, что

Уравнение окружности радиуса АЕ с центром в точке Е записывается в виде:

Подставив в него числовые значения радиуса АЕ и координат центра Е, получим уравнение окружности, проходящей через все вершины квадрата:

Теперь с помощью простого рассуждения находим по очереди координаты всех вершин квадрата.

Точки А и С лежат на пересечении найденной нами окружности и прямой АС, это общие точки указанных окружности и прямой. Значит, координаты этих точек – решения системы уравнений окружности и прямой:

Координаты вершины А мы знаем, поэтому будем искать вершину С.

Подставим во второе уравнение системы вместо у его выражение 3 х +11 из первого уравнения. Получим:

откуда , поэтому , т.е. , значит . Если квадрат числа равен 1, это число равно либо 1, либо -1. Поэтому и тогда , либо и тогда .

Во втором случае мы получили известную нам абсциссу вершины А (а из первого уравнения системы получим ординату этой вершины), а первый случай дает нам абсциссу вершины С: . Итак, найдена вершина С (-1; 8).

Аналогично, для нахождения координат вершин B и D надо решить систему, состоящую из уравнений прямой BD и той же окружности:

Итак, получены два решения системы, пара (1; 4) и (-5; 6). Одно из этих решений – координаты точки B, а второе – точки D. Поскольку обе эти вершины совершенно равноправны, мы можем любую из них обозначить буквой B, тогда вторая будет вершиной D. Вся разница в том, идут ли вершины A, B, C и D в порядке обхода контура квадрата по или против часовой стрелки, что для решения нашей задачи безразлично; просто надо выбрать одно из этих направлений произвольно.

Мы будем считать, что вершины квадрата таковы: B (1; 4); D (-5; 6).

4. Нам осталось найти уравнения сторон квадрата. Для этого вспомним уравнение прямой, проходящей через точки и :

(2)

и подставим в него координаты соответствующих вершин квадрата.

Уравнение прямой AB получим, если в формулу (2) вместо точек M и N возьмем точки A и B:

Подставляя в это уравнение координаты вершин А (-3; 2) и B (1; 4), находим:

или 2(у -2)= х +3,

откуда .

Аналогично получаем уравнения других сторон. Теперь можно сделать чертеж – Рис. 1.

Рис. 1.

Ответ:

А (-3; 2);

B (1; 4);

С (-1; 8);

D (-5; 6)

Е (-2; 5);

AB: у =0,5 х +3,5;

BС: у =-0,5 х +6;

СD: у =0,5 х +8,5;

AD: у =-0,5 х -4.

Задача 3

В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С и тангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координаты двух других вершин, а также площадь этого ромба. Сделать чертёж. А (-20; 24); С (-5; 4); tgC =²⁰/₂₁.

Решение:

Изобразим графически положение ромба в прямоугольной системе координат Оху:

1) Запишем уравнение диагонали АС как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

2) Так как в ромбе его диагонали взаимно перпендикулярны, то угловой коэффициент диагонали BD будет равен:

Определим координаты точки пересечения диагоналей ромба Е. Итак, Е – середина АС.

Запишем уравнение диагонали BD как уравнение прямой, проходящей через заданную точку Е в направлении, определяемом угловым коэффициентом.

3) Чтобы найти уравнения сторон ромба надо определить угловые коэффициенты k_AB = k_CD и k_B_С = k_А_D прямых на которых эти стороны лежат. Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то положив С =2 φ из формулы

, где tg 2 φ =²⁰/₂₁ найдём tgφ.

Итак, tgφ =-2,5 – не удовлетворяет условию задачи, что угол φ – острый, поэтому tgφ =0,4.

· угол φ является углом между прямыми ВС и АС, то есть:

· угол φ является углом между прямыми DС и АС, то есть:

Так как противоположные стороны ромба параллельны, то определим угловые коэффициенты всех его сторон:

уравнение АВ:

уравнение ВС:

уравнение СD:

уравнение АD:

4) Вершины ромба В и D являются точками пересечения его соответствующих сторон АВ и ВС; СD и АD. Решим системы уравнений этих сторон.

В (-16,5; 11)

D (-8,5; 17)

5) Площадь ромба вычислим по формуле S =0,5 d ₁ d ₂, где d ₁= АС и d ₂= ВD – диагонали ромба.

Ответ: А С: 4 х +3 у +8=0; BD: 6 х -8 у +187=0; АB: 26 х +7 у +352=0; ВС: 14 х +23 у -22=0;

СD: 26 х +7 у +102=0; AD: 14 х +23 у -272=0; B (-16,5; 11); D (-8,5; 17); S =125 кв. ед.

Домашнее задание

Задача 1

Пусть точка А (-7; 3) - вершина квадрата ABCD, а его диагональ BD расположена на прямой 2 х + у +6=0. Найдите:

в) координаты вершин B, C и D;

г) уравнения сторон AB, BC, CD и DA.

Сделайте чертеж.

Ответ: А (-7; 3); B (-4; 2); С (-3; 5); D (-6;6) Е (-5; 4);

AB: х +3 у -2=0; BС: 3 х - у +14=0; СD: х +3 у -12=0; AD: 3 х - у +24=0.

Задача 2

Ответ:АС: 3 х -4 у +9=0; BD: 4 х +3 у -87=0; АB: 2 х - у -4=0; ВС: 2х -11 у +156=0;

СD: 2 х - у -24=0; AD: 2 х -11 у +56=0; B (10; 16); D (16; 8); S =100 кв. ед.

Задача 3

Даны координаты вершин треугольника АВС. Написать уравнения окружностей вписанной и описанной около данного треугольника. А (11; 5); В (5; -3); С (-4; -3).