67. На плоскости начерчены две окружности, радиусы которых 
и 
соответственно. Меньшая окружность содержится внутри большего круга. В большой круг наудачу бросают точек. Пусть случайная величина 
– число точек, попавших в малый круг. Вычислите математическое ожидание 
и дисперсию 
.
68. Производится 
независимых испытаний, состоящих в том, что одновременно подбрасываются 
монет. Пусть – число испытаний, в которых выпало 
герба. Найдите математическое ожидание .
– число испытаний, в которых выпало герба.
69. Случайные величины 
распределены по биномиальному закону с параметрами 
и 
. Найдите математическое ожидание 
.
70. Случайные величины 
независимы и распределены по биномиальному закону с параметрами 
и 
. Найдите математическое ожидание 
.
71. Отрезок длины 
поделен на две части длины и 
соответственно. Наудачу 
точек последовательно бросают на отрезок. – случайная величина, равная числу точек, попавших на отрезок длины . Найдите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины .
72. Производится 
независимых испытаний, в каждом из которых подбрасываются 
игральные кости. Пусть – число испытаний, в которых все выпавшие цифры оказались 
. Найдите дисперсию .
73. Производится независимых испытаний с вероятностью успеха 
в каждом испытании. Пусть – число успехов в испытаниях с номерами 
, 
– число успехов в испытаниях с номерами 
. Найдите дисперсию 
.
U- число успехов в испытаниях с номерами 1,2,3,4
V- число успехов в испытаниях с номерами 5,6,7
W- число успехов в испытаниях с номерами 8.9.10.
Каждая из величин имеет биномиальное распределение
74. На плоскости начерчены два квадрата, стороны которых 
и 
соответственно. Меньший квадрат содержится внутри большего квадрата. В большой квадрат случайным образом бросают точки до тех пор, пока не попадут в маленький квадрат. Пусть случайная величина – число бросаний. Найдите математическое ожидание и дисперсию .
Геометрическое распределение
75. В спортивной лотерее каждую неделю на 100 билетов разыгрывается 
палаток и рюкзаков. Турист решил каждую неделю покупать по одному билету до тех пор, пока он не выиграет палатку и рюкзак. Найдите среднее время реализации данного намерения (время измеряется в неделях).
T-время ожидания
T=T1+T2
T1, T2-независимы
Т1-время ожидания 1-го выигрыша
Т2-время ожидания др. выигрыша
76. В серии независимых испытаний, которые проводятся с частотой одно испытание в единицу времени, вероятность наступления события 
в одном испытании равна 
. Пусть 
– время ожидания наступления события раз (за все время ожидания). Найдите математическое ожидание 
и дисперсию 
.
Ti-время ожидания от (i-1)-ого до i-ого события
Геометрическое распределение
77. Случайные величины 
распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание 
.
78. Случайные величины независимы 
и распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание 
.
79. Случайные величины 
распределены по геометрическому закону. Найдите дисперсию 
, если их математические ожидания равны , а коэффициент корреляции и равен 
.
80. Случайная составляющая выручки равна 
, где – биномиальная случайная величина с параметрами 
и 
. Случайная составляющая затрат имеет вид 
, где – пуассоновская случайная величина. Найдите дисперсию прибыли, считая, что и – независимы, а 
.
81. Для пуассоновской случайной величины отношение 
. Найдите математическое ожидание 
.
