Заметим, что любое расширение 
поля 
можно рассматривать как линейное векторное пространство над полем , векторами которого являются все числа из поля (включая и числа поля ), а скалярами – числа из поля . Проверка для всех аксиом векторного пространства не вызывает затруднений.
Для нас важен случай, когда пространство 
конечномерно.
Определение 1. Если расширение поля является конечномерным пространством над полем , то называется конечным расширением поля , а его размерность (обозначаемая символом 
) – степенью конечного расширения поля .
Теорема 1. Пусть в цепочке полей
каждое поле 
является конечным расширением поля 
степени 
, 
. Тогда 
является конечным расширением поля степени 
.
Доказательству теоремы предпошлем лемму.
Лемма 1. Если система векторов
(1)
есть базис пространства 
над полем , а система
(2)
есть базис пространства 
над полем , то система
(3)
является базисом пространства над полем .
Доказательство. Требуется доказать, что система (3) линейно независима в пространстве над полем и каждый вектор из линейно выражается через систему (3).
Пусть выполняется равенство
, 
(4)
Переписывая это равенство в виде
, 
, 
и учитывая линейную независимость системы (2), заключаем:
,
Но так как система (1) линейно независима в пространстве над полем , то из последних равенств вытекает:
, 
,
Таким образом, равенство (4) возможно только при , т.е. система (3) линейно независима в пространстве над полем .
Пусть 
. Так как система (2) есть базис пространства над полем , то
, 
.
Но поскольку система (1) есть базис над полем , что
,
и, следовательно,
что и завершает доказательство леммы.
Из леммы 1 следует, что теорема 1 верна при 
. Предположим, что теорема верна при 
, т.е. 
является конечным расширением поля степени 
. Но так как 
есть конечное расширение поля степени 
, то согласно лемме есть конечное расширение поля степени 
.
Таким образом, теорема верна при 
, а, следовательно, и при любом натуральном значении 
.
Теорема 2. Если 
– алгебраическое над полем число степени , то система
(5)
является базисом 
над полем .
Доказательство. Равенство
возможно только при 
, Так как в противном случае степень числа над полем была бы меньше . Значит, система (5) линейно независима в пространстве над полем .
Пусть 
. Тогда в силу теоремы 1 §2 
, 
. Если 
– минимальный многочлен числа , то по теореме о делении с остатком
причем либо 
, либо степень 
меньше . Значит,
, 
, 
то есть 
линейно выражается через векторы системы (5). Таким образом система (5) является базисом пространства над полем .
Следствие. Простое алгебраическое расширение является конечным расширением поля , причем степень этого расширения равна степени алгебраического над полем числа .
Теорема 3. Если поле является конечным расширением поля степени , то каждый элемент из поля является алгебраическим над полем числом степени 
, где – некоторый делитель числа .
Доказательство. Так как 
, то любая система, содержащая более векторов, линейно зависима в пространстве над полем . В частности, если 
, то линейно зависима система
Это означает, что в поле существуют такие числа 
, из которых, по крайней мере, одно отлично от нуля, что
последнее равенство и означает, что число алгебраично над полем .
Рассмотрим теперь цепочку полей.
Если система векторов из линейно зависима над полем , то она линейно зависима и над полем 
, и, следовательно, является конечным расширением поля . Поэтому в силу теоремы 1
где число 
есть в силу следствия из теоремы 1 степень алгебраического над полем числа .
Таким образом, является делителем числа , что и завершает доказательство теоремы.
Следствие. Все элементы простого алгебраического расширения поля алгебраичны над полем .
Составные расширения
Пусть 
– множество чисел, не обязательно алгебраических над полем . Присоединим к полю число 
, затем к полю 
– число 
и т.д. В результате получим цепочку полей
,
в которой каждое поле, начиная с , является простым расширением соседнего предшествующего поля. Тогда поле 
при 
, называется составным расширением поля .
Заметим, что два соседних поля 
и 
могут и совпадать; это возможно тогда и только тогда, когда 
.
Теорема 1. Составное расширение является минимальным расширением поля , содержащим множество 
. Иначе говоря, является пересечением всех числовых полей, содержащих поле и множество .
□ Обозначим через 
пересечение всех числовых полей, содержащих подполе и множество . Требуется доказать, что 
. Включение 
очевидно. С другой стороны, так как 
и 
, то в силу минимальности простого расширения поля справедливо включение 
. Аналогично, так как и 
, то в силу минимальности простого расширения 
поля справедливо включение 
. Индукцией по легко доказывается и включение 
. Учитывая ранее отмеченное включение , получим требуемое равенство . ◘
Следствие. Составное расширение не зависит от порядка присоединения элементов 
. ◘
В дальнейшем, когда порядок присоединения элементов не имеет значения, мы будем обозначать составное расширение через 
или через .
Следующая теорема дает информацию о внутреннем строении составного расширения.
Теорема 2 (о строении составного расширения). Составное расширение 
есть множество чисел представимых в виде частного значений многочленов от переменных с коэффициентами из поля P от чисел , т.е.
. (1)
Обозначим через 
правую часть равенства (1). Это множество замкнуто относительно вычитания и деления на неравные нулю числа и, следовательно, является подполем поля 
. Нетрудно проверить, подбирая соответствующим образом многочлены 
и 
, что 
и 
. Но тогда в силу теоремы 1 справедливо включение 
.
С другой стороны, очевидно, что все числа из принадлежат полю , и, следовательно, 
. Следовательно, 
, что и требовалось доказать. ◘
