Простые расширения числовых полей и их строение

ГДАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ

 

В этой главе будут рассматриваться числовые поля, т.е. подполя поля комплексных чисел, хотя аналогичная теория может быть построена для любого алгебраически замкнутого поля.

До сих пор изучались, в основном, числовые поля рациональных чисел и действительных чисел. Однако многие задачи, в том числе задача о возможности построения с помощью циркуля и линейки того или иного числа, требуют рассмотрения и других числовых полей.

 

Алгебраические числа и минимальные многочлены

Условимся, ради краткости, под полем понимать числовое поле, а под числом – комплексное число.

Определение 1. Пусть – некоторое поле. Число называется алгебраическим относительно поля (над полем ), если оно является корнем некоторого многочлена .

Если число не является алгебраическим относительно поля , то оно называется трансцендентным относительно .

Замечание 1. Как известно, поле является наименьшим числовым полем (т.е. содержится в любом числовом поле). В силу особого положения этого поля алгебраические и трансцендентные относительно поля числа называются просто алгебраическими и трансцендентными (без добавления слов «относительно поля »).

Примеры.

1. Число есть корень многочлена с рациональными коэффициентами и, следовательно, является алгебраическим.

2. Любое число из поля является корнем многочлена и, следовательно, является алгебраическим относительно .

3. Любое число является алгебраическим относительно поля . Действительно, если – вещественное число, то оно является корнем многочлена . Если – мнимое число, то оно является корнем многочлена .

Долгое время считали, что все числа являются алгебраическими. Только в 1851 г. Эрмит обнаружил трансцендентное число , а в 1882 г. Линдеман доказал трансцендентность числа . Большой вклад в теорию трансцендентных чисел внес советский математик А.О. Гельфонд в 1931-36 гг. Из его результатов в частности следует, что трансцендентными являются числа вида , где – целое, – иррационально (например, и т.д.), а также числа .

Замечание 2. Если существует биективное отображение , то множества и называется равномощными. Всякое множество, равномощное множеству натуральных чисел называется счетным. Если же множество равномощно множеству , то говорят, что оно имеет мощность континуума. Еще Кантор показал, что множество алгебраических чисел (как и множество ) счетное, а множество трансцендентных чисел (как и множество иррациональных) имеет мощность континуума. Таким образом, трансцендентных чисел гораздо «больше», чем алгебраических.

Теорема 1. Если – алгебраическое число над полем , то

1) существует единственный нормированный неприводимый в многочлен , корнем которого является число ;

2) если – корень многочлена , то .

□ 1) Согласно определению 1 в кольце существует такой многочлен , что . Пусть

каноническое разложение многочлена в произведение неприводимых над полем многочленов из . Так как , то число является корнем, по крайней мере, одного из нормированных неприводимых над полем многочленов . Пусть – любой другой многочлен с теми же свойствами. Так как и оба неприводимы, то они либо взаимно просты, либо ассоциированы (т.е. делятся друг на друга). Но если они взаимно просты в кольце , то они взаимно просты и в кольце , а это противоречит тому, что они имеют общий корень и, следовательно, в они делятся на . Значит и – ассоциированы. Но поскольку они нормированы, то они обязаны быть равными. Таким образом, многочлен удовлетворяет требованиям 1) теоремы 1.

2) Пусть – корень многочлена из кольца и – найденный выше многочлен. Так как – неприводим, для любого многочлена возможно лишь одно из двух: либо и взаимно простые, либо . Но первое невозможно, так как и имеют общий корень . Значит, , что и требовалось доказать. ◘

Определение 2. Нормированный неприводимый многочлен , для которого алгебраическое относительно поля число является корнем, называется минимальным многочленом числа , а степень минимального многочлена называется степенью алгебраического числа .

Примеры.

4. Число является алгебраическим числом 6 степени, а минимальным для него является многочлен (он неприводим над полем в силу признака Эйзенштейна).

5. Всякое число является корнем многочлена и, следовательно, является алгебраическим относительно поля числом степени 1. Очевидно и наоборот – всякое алгебраическое относительно поля число степени 1 принадлежит полю .

6. Относительно поля все действительные числа имеют степень 1, а все мнимые – степень 2 (см. пример 3).

Замечание 3. Если – алгебраическое относительно поля число степени и поле является расширением поля (т.е. ), то является алгебраическим относительно поля числом степени . Это следует из того, что неприводимый над полем многочлен может оказаться приводим над его расширением. Например, число является алгебраическим числом степени 2 над полем (минимальный многочлен ) и алгебраическим относительно поля числом степени 1 (минимальный многочлен ).

Теорема 2. Если неприводим над каким-либо полем , то он не имеет в поле кратных корней.

□ В силу закона контрапозиции достаточно доказать, что если и имеет кратный корень в , то он приводим над полем . Пусть – кратный корень многочлена . Тогда является также корнем его производной . Отсюда легко следует, что принадлежит кольцу и имеет положительную степень. Значит, , где , т.е. приводим над полем . ◘

 

Простые расширения числовых полей и их строение.

Напомним, что если является подполем поля , то называется расширением поля . В дальнейшем мы укажем некоторые типы расширений и изучим их структуру. Начнем с так называемых простых расширений.

Пусть – фиксированное поле и – число. Рассмотрим множество всех полей, содержащих поле и число . Это множество не пусто, так как само поле комплексных чисел принадлежит этому множеству. Пересечение всех этих полей также является полем, содержащим и , причем это наименьшее по включению поле, содержащее и .

Определение 2. Пересечение всех полей, содержащих поле и число , называется простым расширением поля с помощью числа и обозначается через . Сам процесс расширения называется присоединением к полю числа .

Если – алгебраическое над полем число, то называют простым алгебраическим расширением, в противном случае – простым трансцендентным расширением поля .

Теорема 1 (о строении простого расширения). 1)Простое расширение состоит из всевозможных чисел, представимых в виде частного значений многочленов из кольца от числа , т.е.

(1)

2) Простое алгебраическое расширение состоит из чисел, представимых в виде значения многочленов из кольца от числа , т.е.

. (2)

□ 1) Обозначим через правую часть равенства (1). Так как и , в силу свойств поля числа

, (3)

принадлежат для любых неотрицательных чисел и , т.е. .

Обратно, так как замкнуто относительно вычитания и деления, то есть подполе поля и, следовательно, поле. Кроме того, полагая в (3) , получим, что . Далее, считая в (3) пробегающим все поле , , заключаем, что . Но поскольку – наименьшее поле, содержащее и , имеем включение . Учитывая теперь доказанное выше включение , получаем равенство . Таким образом, справедливость равенства (1) доказана.

2) Пусть теперь – алгебраическое над полем число и обозначает правую часть равенства (2). Ясно, что . Так как замкнуто относительно вычитания и умножения, то оно является подкольцом поля . Это кольцо коммутативное и имеет единицу. Докажем, что для каждого числа из обратное к нему число также принадлежит . Тем самым будет доказано, что является полем.

Пусть – минимальный многочлен алгебраического числа . Так как , , то не делится на . Поскольку, кроме того, неприводим над полем , многочлены и являются взаимно простыми. Но тогда в существуют такие многочлены и , что

. (4)

Полагая здесь , получим или .

Итак, – поле, которое, очевидно, содержит и . В силу минимальности имеем и, следовательно, . ◘

Замечание 1. Если – трансцендентно над полем , то не все числа поля можно представить в виде . Например, число представимо в таком виде. Действительно, если предположить противное, т.е. , то , т.е. есть корень многочлена , что противоречит трансцендентности .

Примеры.

1. Найти . Так как алгебраическое над полем число, то по теореме 1 . Учитывая, что натуральные степени числа содержатся среди чисел , заключаем, что при любом . Отсюда легко получаем, что = С.

2. Найти . Так как – трансцендентное число, то по теореме 1 .