Поняття кута між прямими, які перетинаються

Тема: Кути у просторі, кут між прямими у просторі, кут між прямою і площиною.

Цілі та завдання уроку:

Навчальні: формувати в учнів поняття кута між двома прямими, між прямою і площиною у просторі, показати застосування цих понять до розв’язування задач;

Розвиваючі: сприяти розвитку в учнів просторової уяви, вміння знаходити даний кут на зображенні, на моделі.

Виховні: сприяти вихованню графічної культури учнів, домогтися чіткості формулювань введених означень.

Тип уроку: засвоєння нових знань і вмінь.

Обладнання: Таблиця «Кути у просторі», модель прямокутного паралелепіпеда.

Хід уроку.

Організація класу (1 хв.) Викладач перевіряє готовність учнів до уроку, відмічає відсутніх

Перевірка домашнього завдання (5 хв.)

Бліц-опитування

Чи правильні твердження:

1) Якщо дві прямі лежать в одній площині, то вони не мимобіжні (+).

2) Якщо дві прямі не перетинаються, то вони паралельні (-).

3) Дві прямі завжди лежать в одній площині (-).

4) Якщо пряма в просторі перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає і другу (-).

5) Паралельні прямі можуть лежати в двох площинах, що перетинаються (+).

6) Через точку, що не належить даній прямій, можна провести єдину пряму, яка не перетинає даної прямої (-).

7) Якщо точки А, В, С і Д не лежать в одній площині, то прямі АВ і СД мимобіжні. (+).

8) Дві прямі, мимобіжні до третьої прямої, мимобіжні між собою (-). 3

9) Якщо точки А, В, С і Д лежать в одній площині, то прямі АС і ВД перетинаються (-).

10) Якщо пряма паралельна одній із двох мимобіжних прямих, то вона може перетинати другу (+).

Виклад нового матеріалу

Актуалізація опорних знань (2 хв.)

Повторюємо випадки взаємного розміщення прямих на площині. До кожного випадку учні роблять на дошці малюнки.

1) прямі а і b перетинаються;

2) прямі а і b паралельні.

В просторі є ще один випадок:

3) прямі а і b мимобіжні.

Як знайти кут в першому і другому випадках? (учні дають відповідь).

Проблема. А як знайти кут між мимобіжними прямими?

Пригадуємо випадки розміщення прямої і площини.

. Пряма а і площина α паралельні.

2. Пряма а і площина α перетинаються.

3. Пряма а лежить в площині α.

Проблема. Як знайти кут в кожному з цих випадків?

Мотивація пізнавальної діяльності (2 хв.)

З планіметрії ми вже знаємо, що таке кут між двома прямими однієї площини. Сьогодні ми познайомимося із поняттям кута між прямими, між прямою і площиною, а на наступному – кута між площинами.

Вивчення нового матеріалу ( учням роздано опорні конспекти над якими вони самостійно працюють із деяким поясненням викладача). (20 хв.)

Поняття кута між прямими, які перетинаються

Введемо поняття кута між прямими в просторі.

Якщо дві прямі перетинаються, вони утворюють чотири кути (по­парно вертикальні або попарно суміжні). Кутова міра меншого з них називається кутом між даними прямими, що перетинаються. Кут між прямими, що перетинаються, не перевищує 90°.

Якщо прямі перпендикулярні, то величина кута між цими прямими дорівнює 90°.

Кут між паралельними прямими вважають таким, що дорівнює 0°. Слід зазначити, що кут між прямими — це не геометрична фігура, це — величина.

Розв'язування вправ

1. ABCDA ₁ B ₁ С ₁ D ₁ — куб. Знайдіть кут між прямими:

а) АВ₁ і AD₁; б) АВ₁ і AD; в) АВ₁ і АВ; г) АС і AC₁.

(Відповідь: а) 60°; б) 90°; в) 45°; г) arcsin .)

2. Прямі а і b перетинаються під кутом 30°, а прямі а і с — під кутом 60°. Чи можуть бути перпендикулярними прямі b і с? (Відповідь. Так.)

3. ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ — прямокутний паралелепіпед, в якому АВ = а, AD = b, АА₁ = с. Знайдіть кут між прямими:

а) А ₁ В і АВ; б) A ₁ D і AD; в) BD і АВ; г) ВА ₁ і DA ₁.

(Відповідь, a) arctg ; б) arctg ; в) arctg ; г) arccos .)