![]() Поиск: Рекомендуем: ![]() ![]() ![]() ![]() Категории: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Ковариация (корреляционный момент) и коэффициент корреляцииУсловные законы распределения
Для дискретных величин были введены условные вероятности по формулам
Для непрерывных величин аналогично вводятся плотности для условных законов распределения
Числовые характеристики составляющих
Аналогичные характеристики можно ввести и для условных распределений, например, условные математические ожидания
Условное математическое ожидание
и наоборот, условное математическое ожидание
Функции (1) и (2) называются функциями регрессии: (1) − Зависимые и независимые случайные величины
Определение. Случайные величины для дискретных случайных величин
для непрерывных
Таким образом, плотность вероятности совместного распределения системы Теорема (критерий независимости случайных величин). Для того, чтобы случайные величины
Кроме того, для непрерывных величин это условие равносильно следующему
(Доказательство см. в [1].) Для независимых случайных величин Пример. Задана плотность вероятности совместного распределения системы Найдем
Мы видим, что
Ковариация (корреляционный момент) и коэффициент корреляции
Для двумерной случайной величины Определение. Ковариацией или корреляционным моментом
Используя формулы для математических ожиданий, получаем для дискретных величин для непрерывных величин Ковариация характеризует зависимость величин. Свойства корреляционного момента 1. Для независимых случайных величин 2. Если 3. для дискретных величин для непрерывных величин 4. 5. 6. 7. Ковариация имеет размерность произведения размерностей случайных величин Определение. Коэффициентом корреляции
Свойства коэффициента корреляции 1. Для независимых случайных величин 2. 3. Если
Определение. Случайные величины Следует помнить, что понятия некоррелированности и независимости не совпадают, несмотря на внешнее сходство. Независимые величины − некоррелированные, но обратное неверно. Коррелированные величины − зависимые, но обратное неверно. Любые коррелированные величины всегда зависимые, любые независимые величины всегда некоррелированные. Это можно отразить на двудольном графе.
Пример. У случайных величин Решение.
Ответ.
В заключение рассмотрим пример на вычисление всех характеристик системы случайных величин. Пример. Задан закон распределения системы случайных величин
Найдите значение параметра Решение. а) Согласно свойству
Итак, плотность вероятности имеет вид б) Законы распределения составляющих
Если
Аналогично, если
в) Условные законы распределения составляющих
г) Математическое ожидание
Аналогично, Для вычисления дисперсии найдем
Аналогичные вычисления для Средние квадратические отклонения д) Математическое ожидание
е) Корреляционный момент
Коэффициент корреляции
Так как коэффициент корреляции отличен от 0, случайные величины Ответ.
Замечание. Симметричные значения для составляющих в данном примере получились благодаря симметричности плотности совместного распределения и области
Закон больших чисел В 1913 г. В России был отмечен необычный юбилей − двухсотлетие закона больших чисел. В 1913 г. Была переведена на русский язык «Часть четвертая сочинения Я. Бернулли», опубликованного в 1713 г. через 8 лет после его смерти. Само название «закон больших чисел» принадлежит Пуассону (1781 − 1840). Что такое «закон больших чисел»? Под «законом больших чисел» в широком смысле слова понимается общий принцип, согласно которому (по словам А.Н. Колмогорова) совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. В узком (математическом) смысле слова закон больших чисел – это ряд теорем, в которых при тех или иных условиях устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным. Для каждой случайной величины нельзя предвидеть, какое она примет значение в итоге испытания. Но поведение суммы большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным, здесь необходимое прокладывает себе дорогу сквозь множество случайностей. Исторически первой формулировкой больших чисел считается теорема Бернулли, опубликованная в 1713 г. В дальнейшем были получены более простые её доказательства, основанные на неравенстве Чебышева[1]. Теорема Бернулли(современная формулировка). При неограниченном числе испытаний
Теорема(неравенство Чебышева). Для любого
Доказательство(для непрерывной случайной величины): ○
Так как события
Здесь дается нижняя оценка вероятности рассматриваемого события. Пример.Для любой случайной величины
Теорема Чебышева.Если т.е. для любого Доказательство. ○ По неравенству Чебышева Таким образом, при большом числе случайных величин Теорема Чебышева имеет важное практическое значение: при измерении некоторой величины Смысл теоремы Чебышева заключается в том, что хотя отдельные независимые величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий среднее арифметическое большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значение, близкое к некоторой константе, а именно к К числу теорем закона больших чисел относится и центральная предельная теорема Ляпунова[2] Теорема(центральная предельная теорема Ляпунова). Распределение суммы 1. все эти величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии 2. ни одна из величин по своим значениям резко не отличается от остальных.
Пример.В университете, куда ежедневно приходят 6400 студентов, имеется 2 входа. Каждый студент с вероятностью 0,5 заходит в любой из них и сдает пальто в соответствующий гардероб. Сколько вешалок должно быть в каждом гардеробе, чтобы с вероятностью, большей 0,997 их хватило? Решение. С каждым студентом свяжем случайную величину
Так как сумма большого числа одинаково распределенных величин по теореме Ляпунова подчиняется нормальному закону распределения, то Ответ. 3320 вешалок. [1] Пафнутий Львович Чебышёв (1821 −1894) − русский математик и механик, его работы по теории вероятностей имели огромное значение для развития математики. [2] Александр Михайлович Ляпунов (1857 − 1918) − русский математик и механик, выдающийся представитель петербургской математической школы, созданной П.Л. Чебышевым.
Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 1433 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов Читайте также:
Рекомендуемый контект: Поиск на сайте:
|