Конвективный перенос тепла.
=0, для Pe → 
Re→ 
.Возникающий парадокс разрешим в приближении пограничного слоя.
Уравнение Фурье-Кирхгофа в безразмерной форме имеет вид:
+Pe 
= 
+Po
-λ 
=α 
- граничное условие 3 рода в безразмерной форме для пограничного слоя(
-характерная температура в потоке):
(
=- 
-=>Nu(
)=- 
ρ[ 
+ 
…]=- 
– ρg+µ[ 
+….] - уравнение Навье-Стокс
β=-1 
- коэффицент объемного расширения 1/[град].
Если ρ лишь функция t,то:
β=-1
=-β 
=>ρ= 
- β (t- )
ρ[ 
+ 
…]=- 
+ β (t- )g+μ[ 
+ 
],где 
=Р+ gx-приведенное давление.
ρ[ 
+ 
]=- 
+ 
g+ µ 
+…]
= 
- безразмерное приведенное давление
Нормируем все члены уравнения по характерным параметрам при конвективном члене:
ρ[ 
+ 
+…]=- 
+ 
+µ 
[ 
+….]
Полагая в приближении Буссинеска ρ= 
,имеем:
[ + 
]=- 
+ 
+µ 
[ +….]
1/Pe 
+ 
= + 
+ 
[ ….], где Gr= 
- критерий Грасгофа(соотношение сил веса и подъемной силы за счет зависимости плотности от температуры в неизотермических условиях к силе трения), 
- безразмерный перепад температур.
Система уравнений гидродинамики и переноса тепла в приближении температурного пограничного слоя в безразмерном (критериальном виде)
Nu=f(Re,Gr,Pe,Fo)
Уравнение стационарного конвективного переноса в критериальном виде, памятуя о том, чтоPe=Re*Pr
Nu=f(Re,Pr,Gr)-оно используется для определения коэффициента теплопередачи, т.к. Nu= 
Возможно 2 вида конвекции: вынужденная(за счет действия внешних сил) и естественная (за счет действия внутренних сил, возникающих в неизотермической системе за счет зависимости плотности от температуры).Естественная конвекция возможна при определенных условиях:
Толщина теплового пограничного слоя. Закон ее изменения по длине.
+ 
= 
- уравнение переноса тепла в плоском стационарном погрпничном слое.
+ 
=0
= 
=0; т.к. 
= 
< 
= a 
=>
= 
=> 
= 
= 
= 
=> 
= 
, т.к. 
Из полученного выражения = можно сделать выводы:
1)По одному и тому же закону изменяются 
и 
, т.е. 
2)Pr<1,т.е. v<a, что характерно для расплавов металлов.
Решение задачи о переносе тепла в температурном пограничном слое дает зависимость для расчета коэффициента теплоотдачи:
=a 
Y=0, t= 
, y= 
U= 
Nu=0,377 
=C 
, при m=n=1/2.
Y y 
y 
 | |||
 | |||
δг
δт
t 
x
Из подобия треугольников:
= 
=> 
= 
Текущее значение также из подобия треугольников равно:
= => =f(y)= 
y= 
y= 
, т.к. поле скоростей в вязком слое вблизи стенки равно:
=μ 
=> = y; 
ωх=f(y). Значит 
, т.е. ωy=const=0 из условий непроницаемости пластины, которую обтекает жидкость
Подставляя полученное выражение для в уравнение переноса тепла в пограничном слое, получаем:
= a =>
= 
= 
= 
= 
=> 
, т.к.
= 
.
Полученная зависимость подтверждает ранее сделанный вывод:
1)зависимость =f(x) следует тому же закону, что и =f(x), т.е.
2)Pr>1;v>а, что характерно для вязких неметаллических сред.
Решение задачи о переносе тепла в температурном пограничном слое дает зависимость для расчета коэффициента теплоотдачи:
y 
= 
t= ; у= ; t= ;
Подстановка u= 
Решение получаем в виде:
Nu=0,2224 
= C , где m=1/2, n =1/3.
Естественная конвекция
Конвективное движение в системе возникает за счет внутреннего побудителя движения (зависимости плотности среды от температуры и изменения температуры по толщине слоя).
Условия возникновения естественной конвекции.
Если вектор силы F возникающей при перемещении объема V в поле температур будет направлен вверх, то система по теореме Ляпунова неустойчива, ибо амплитуда бесконечно малого возмущения, внесенного в систему, будет расти. В противном случае система устойчива. В первом случае возникает естественная конвекция. Во втором не возникает.
Холодная область
Уст.
Неуст.
Горячая область
t
dF=Vgdρ=Vg 
dz=-Vgβ 
dz
т.к. β=- 
; ρ0 –характерная плотность.
dt/dz>0,dF<0-система устойчива
<0,dF>0 – система неустойчива
Оценка скорости естественной конвекции.
=- 
+ 
△ 
+1/Re 
1. Гравитационно-инертный режим (первый предельный режим естественной конвекции):
=0=>Gr= 
=>Re 
=> 
β△ =>ω= 
т.е. ω 
f(ν)
2. Гравитационно-вязкостной режим (второй предельный режим):
=1=>Gr=Re 
= 
β△ 
, т.е. ω=f(ν)
Оценка коэффициента теплоотдачи при естественной конвекции:
Ранее было показано, что для конвективного переноса тепла характерно:
Nu= C выражаем критерий Re через критерий Gr.
c 
-гравитационно-вязкостной режим
Nu= 
c 
-гравитационно-инерционный режим
< c 
- гравитационно-вязкостной режим
c 
- гравитационно-инерционный режим
Экспериментальные данные принято обрабатывать зависимостью Nu =c 
, где n=1/4 в большинстве случаев.
Для вертикальной пластины:
Nu=0,55 
, при 2* 
<GrPr< 
Для горизонтальной трубы:
Nu=0,41 , при GrPr> 
Неизотермичность 
течения может сказаться на профиле скоростей в потоке:
Изотермическое течение неизотермическое течение
r r
t
t
