Типовая аттестационная работа №1

1. Координатная, матричная и векторная формы записи СЛАУ. Дайте определение решения СЛАУ. Общее и частное решения СЛАУ.

2. Найти ранг матрицы при различных значениях параметра :

3. Решить матричное уравнение:

 

4. Исследовать и найти решение (если оно существует) системы линейных уравнений:

 

Типовая аттестационная работа №2

1. Векторное и смешанное произведение векторов.

2. Выяснить являются ли векторы a =(2,-1,3), b (1,4,-1), c (0,-9,5) линейно зависимыми.

3. Векторы e₁, e₂, e₃ и х заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы e₁, e₂, e₃ сами образуют базис и найти координаты вектора х в этом базисе.

 

4. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А =

 

Типовая аттестационная работа №3

1.Определить тип кривой по заданному уравнению, привести к каноническому виду и построить кривую, найти координаты фокусов. Для эллипса и гиперболы определить эксцентриситет, составить уравнения асимптот для гиперболы; для параболы найти значение параметра, составить уравнения директрисы:

 

2.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2,-4,3), перпендикулярно ее радиусу вектору ОМ

 

Вопросы к экзамену

1.Матрицы, их классификация, сложение матриц и умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы, свойства операций над матрицами.

2.Элементарные преобразования матриц и матрицы элементарных преобразований, теорема о приведении произвольной матрицы к верхней трапециевидной форме.

3.Определитель и след квадратной матрицы, свойства определителей.

4.Ортогональная матрица, теорема об определителе ортогональной матрицы.

5.Линейные операции над геометрическими векторами и их свойства.

6.Линейное пространство, подпространство линейного пространства, линейное многообразие, линейная оболочка, сумма и пересечение подпространств, изоморфизм линейных пространств.

7.Линейная зависимость векторов и ее геометрический смысл.

8.Базис и размерность линейного пространства, координаты вектора.

9.Ранг матрицы, теорема о базисном миноре, инвариантность ранга матрицы относительно ее элементарных преобразований.

10. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат.

11. Проекции геометрического вектора на плоскости и в пространстве.

12. Скалярное, векторное и смешанное произведения геометрических векторов.

13. Преобразование аффинной и прямоугольной декартовой системы координат.

14. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

15. Системы линейных уравнений: основные определения, каноническая форма записи системы линейных алгебраических уравнений.

16. Система линейных уравнений с квадратной невырожденной матрицей, правило Крамера.

17. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.

18. Исследование и решение системы линейных алгебраических уравнений методом последовательного исключения неизвестных Жордана — Гаусса.

19. Геометрические свойства решений системы линейных уравнений.

20. Поиск базисных решений, общего решения и фундаментального решений системы линейных алгебраических уравнений.

21. Обратная матрица: определение, свойства, условие существования.

22. Обращение матрицы методом Жордана.

23. Прямая, различные виды уравнений прямой на плоскости и плоскости в пространстве.

24. Взаимное расположение прямых на плоскости и плоскостей в пространстве, Прямая на плоскости и плоскость в пространстве в прямоугольной декартовой системе координат.

25. Прямая в пространстве, взаимное расположение прямых в пространстве.

26. Комплексные числа и операции над ними.

27. Многочлены, деление многочленов, корни многочлена, теорема Безу.

28. Эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения и свойства.

29. Общее уравнение линии второго порядка на плоскости, характеристический многочлен, метод вращений.

30. Классификация линий второго порядка на плоскости, каноническое уравнение, метод Лагранжа.

31. Евклидовы пространства, длина вектора и ее свойства.

32. Ортогональные векторы, ортогональный и ортонормированный базис линейного пространства, процесс ортогонализации.

33. Линейный оператор и его матрица, свойства линейного оператора.

34. Произведение линейных операторов, образ и ядро линейного оператора, обратный оператор.

35. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

36. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

37. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

38. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

 

1.4 Типовой экзаменационный билет по дисциплине «Линейная алгебра»

1. Дайте определение обратной матрицы. Сформулируйте теорему о её единственности .(2б.)

2. Метод определителей нахождения единственного решения системы линейных уравнений (формулы Крамера). (3б.)

 

3. Найти ранг матрицы при различных значениях параметра : (5б.)

4. Исследовать и найти решение (если оно существует) системы линейных уравнений:

(5б.)

5. Даны две точки А(2,3) и В(-1,0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку В перпендикулярно отрезку АВ. (5б.)

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2