Визначення символа Лежандра

№1

Комплексні числа

Розглянемо рівняння , це ріняння має розв’язок в множині комплексних чисел, його позначимо через . Тоді . Множина - розширення множини дійсних чисел , тому . Для елементів множини введемо арифметичні операції: . Ці числа складові множини .

Комплексним числом називається число вигляду , де . Якщо то - дійсна частина , а - уявна частина комплексного числа . Якщо одержимо, що , дійсне число, якщо , то - чисто уявне комплексне число.

Числа і вважєють рівними якщо рівні їх дійсні та уявні частини, тобто , .

Нехай комплексне число, тоді комплексноспряженим до нього назвемо число .

Дії над комплексними числами

1. Під сумою двох чисел та будемо розуміти наступне

2. Під різницею двох чисел та будемо розуміти наступне

3. Під добутком двох чисел та будемо розуміти наступне

4. Під діленням двох чисел та , будемо розуміти наступне

, домножимо чисельник і знаменник на комплексно спряжене з знаменником

Тригонометрична форма комплексного числа

Кожному комплексному числу відповідає деякий вектор на площині, а будь-який вектор задається довжиною і напрямком. Наприклад вектор можна задати кут якій цей вектор утворює з додатним напрямком осі . Домомвимось, що всі кути відраховуються від осі проти годинникової стрілки.

Нехай `відповідає комплексному числу позначимо через довжину вектора , а через кут, який утворює цей вектор з додатним напрямком осі , тоді

- тригонометрична форма комплексного числа.

Назвемо - модулем комплексного числа, а - аргумент комплексного числа (, якщо , то аргумент не визначається).

Нехай , тоді

Для даного комплексного числа його модуль визначається точно, а аргумент з точністю до періода. Таким чином два числа в тригонометричні формі вважаються рівними, якщо їх модулі рівні, а аргументи відрізняються на число кратне

Множення комплексних чисел в тригонометричній формі

Щоб перемножити комплексні числа в тригонометричному вигляді треба модулі цих чисел помножити а аргументи додати.

Розглянемо випадок множення двох спряжених комплексних чисел в тригонометричній формі

Ділення комплексних чисел втригонометричній формі

Дані два числа втригонометричній формі

Домножимо чисельник і знаменник на число комплексно спряжене до знаменника:

Тобто, щоб поділити два комплексних числа втиригонометричній формі потрібно поділити модулі, а аргументи відняти.

№2

Формула Муавра

Нехай комплексне число. Необхідно піднести задане число в степінь. Скористаємося правилом множення комплексних чисел:

Розглянемо випадок коли , тоді .

Доведемо, що формула Муавра вірна для будь-яких цілих степенів. Припустимо і число необхідно піднести в степінь при . Маємо:

Запишемо 1 у тригонометричному вигляді: і перепишемо представлення формули для . Маємо:

Приклад застосування формули Муавра

Виразити і через , .

Розглянемо комплексне число . За формулою Муавра маємо , а з іншого боку за формулою Бінома:

прирівняємо дійсні та уявні частини:

Корені комплексного числа

Припустимо зафіксоване комплексне число знайдемо всі корені степеня числа , якщо вони існують. Запишемо в тригонометричній формі: . Припустимо є коренем в степені, тобто . Запишемо в тригонометричній формі: , тоді за фомулою Муавра маємо:

прирівняємо модулі . Тобто модуль числа визначається однозначно. Крім цього виконується .

Розглянемо варіанти:

1. , тоді і ;

2. , тоді ;

3. , тоді ;

4. , тоді ;

5. , тоді

6. , тоді

Покажемо, що справедлива наступна нерівність:

і співпадає з одним із чисел

Поділимо на з залишком , де і , тоді

де . Покажемо всі є коренями степя . За формулою Муавра маємо:

Оскільки при переході від до аргумент зростає на то всі корені різні. Таким чином для кожного комплексного числа існує в точності коренів , які визначаються за таким правилом при . Точки, що відповідають знаходяться на колі радіуса , і ділять це коло на рівних частин.

№3

№4

Алгоритм Евкліда

Алгоритм Евкліда ітеративний, тобто, пошук розв'язку відбувається за декілька кроків. Для того щоб знайти НСД(a, b) на 0-му кроці знаходять остачу r ₀ від ділення a на b. На 1-му кроці знаходять остачу від ділення b на r ₀. Оскільки залишки зменшуються на кожному кроці але не можуть бути від'ємними, то цю операцію виконують n кроків до тих пір поки не отримують остачу 0. Найбільшим спільним дільником є остання не нульова остача r_n ₋₁. Кількість кроків в алгоритмі має бути скінченною, оскільки існує лише скінченна кількість цілих чисел між початковим залишком r ₀ та нулем.

[ред.] Доведення Алгоритму Евкліда

Правильність алгоритму Евкліда можна довести за два кроки.^[14] Спочатку необхідно довести, що r_n ₋₁ дійсно є дільником a та b, а потім необхідно довести, що це є найбільший спільний дільник.

[ред.] Доведення, що r_n _{− 1} є дільником a та b

З n-го кроку випливає, що (r_n _{− 2} ділиться на r_n _{− 1}). Підставимо в n-1 -ий крок. Маємо:

Таким чином . Повторимо цю опрацію n разів і отримаємо, що та . Отже, є дільником a та b.

[ред.] Доведення, що r_n _{− 1} є найбільшим дільником a та b

За означенням число називається найбільшим спільним дільником a та b, тоді і тільки тоді, коли для будь-якого числа для якого виконується: та має виконуватись, що .

Нехай k є дільником a та b, тоді та або можна сказати, що існують такі числа та , що

Підставимо в 1-ий крок алгоритму:

і виконаємо перетворення:

Отже, . Підставимо в 2-ий крок і аналогічно продовжимо до тих пір поки з останнього кроку не отримаємо, що , що доводить те, що є найбільшим спільним дільником.

№5

Теорема про найбільший спільний дільник

Нехай , тоді існують такі многочлени і , що при цьому і можна вибрати так, що ст ст , ст ст .

(Доведення)

Припустимо і ненульові многочлени. Доведення існування і можна провести двома способами.

І спосіб. Позначимо через таку множину многочленів , зрозуміло, що . Визначимо властивості множини :

1. тоді . і .

2. Якщо і довільний многочлен, який не обов’язково належить , то і .

3. Якщо деякий многочлен і то

4. і . , .

З множини виберемо ненульовий многочлен найбільшого степеня і позначимо його . З (3) якщо то . Покажемо, що довільний многочлен із ділиться на . Від супротивного нехай деякий многочлен не ділиться на тоді поділимо його із залишком.

при цьому ст ст

Враховуючи властивості (1),(2) , , тому і вмножині знайдеться ненульовий многочлен степінь якого меньше степеня , що суперечить вибору , тому . За властивістю (4) , . З означення НСД одержимо , раніше було одержано, що , тому многочлени і різняться лише на сталий множник і є асаційовними. З означення асоційовності такий, що і за властивість (2) . За означення множини існують такі многочлени і : .

ІІ спосіб. Конструктивний, тому дає змогу знайти і . Нехай і для визначеності ст ст . Будемо знаходити НСД за допомогою алгоритма Евкліда.

тобто , тоді підставимо вирази:

Підставляємо значення. Маємо:

№6

Схема Горнера та її застосування

, . Поділимо на з остачею. , де і ст . . Підставимо . Прирівняємо коефіцієнти при відповідних степенях маємо:

Приклад застосування.

по степеням .

Поділимо на із залишком. , де .

, .

-6	-1
1*1-6	-5+1	-5	-4	-4*1+1
-4	-10	-15	-19
-3	-13	-28
1*1-3	-2*1-15
-1

№7

Незвідні многочлени та основна теорема про подільність многочлена

Як відомо простим числом називається число і дільниками числа хє саме число і 1. Аналогічним чином в кільці многочленів є незвідні многочлени.

Многочлен є незвідним над полем якщо з того що і , слідує, що степінь одного із многочленів рівна нулю, тобтохоч один із многочленів рівний .

Лема (про незвідні многочлени).

Нехай - незвідний многочлен і і , тоді або або .

(Доведення)

Припустимо не ділиться на і покажемо . Доведемо від супротивного, що многочлени і взаємнопрості. такий, що ст , , тоді з незвідності многочлена , де , тобта і асоціативні. Оскільки , то і для асоційовного виконується . Прийшли до суперечності Таким чином і - взаємнопрості і за наслідком з теореми про НСД такі, що . Домножимо цю рівність на маємо:

Зрозуміло, що за умовою, тоді .

Зауваження 1.

Індукцією по числу многочленів можна довести наступне твердження. Нехай незвідний многочлен , де , тоді хоч для одного номера .

Зауваження 2.

Доведена лема виконується тільки якщо незвідний многочлен. Справді, нехай звідний многочлен, тоді існують такі многочлени, що і степені цих многочленів більші нуля.

ст =ст +ст тобто ст >ст , ст >ст ,

а тому жодлен із многочленів , не ділиться на . Прийшли до суперечності.

№8

Аналогічно основній теоремі арифметики будь-який многочлен відмінний від можна розкласти в добуток незвідних многочленів.

Нехай , незвідні многочлени . Припускаємо, що многочлени мають степінь більшу нуля. Тоді , де . За означенням незвідного многочлена ст , тобто при цьому і , - асоційовні.

№9

Лема про похідну

Означення.

Множник входить множником в многочлен з кратністю , якщо ділиться на і не ділиться на .

Означення.

Похідною многочлена степеня більше одиниці назвемо многочлен вигляду . Похідною многочлена нульового степеня вважається нульовий многочлен.

Це алгебраїчне означення похідної співпадає з функціональним. Безпосередньо перевіряються наступні умови:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Лема.

Якщо незвідний многочлен входить множником до многочлена з кратність то входить до з кратністю .

(Доведення)

За умовою , де ногочлен не ділиться на . Знайдемо похідну . Зрозуміло, що і залишається показати, що не ділиться на . За умовою леми, це означає , але ст ст . Прийшли до суперечності.

Наслідок 1

Якщо незвідний многочлен входить до многочлена з кратністю 1 то не ділиться на .

Наслідок 2

Якщо канонічний розклад многочлена в добуток незвідних многочленів то НСД .

Наслідок 3

Всі незвідні многочлени входять до канонічного розкладу з кратністю 1 тоді, і тільки тоді коли многочлени і взаємнопрості.

Кратність коренів многочленів

Нехай деякий многочлен. Якщо є коренем цього многочлена, то за теоремою Безу . Корінь ненульового многочлена коренем кратності якщо ділиться на і не ділиться на .

Корінь кратності 1 називається простим коренем, корінь степінь якого більше 1 називається кратним коренем.

Лема.

Число коренів даного многочлена з урахуванням їх кратності не перевищує степеня даного многочлена.

(Доведення)

Припустимо корені многочлена кратності відповідно . Це означає, що многочлен ділиться на , але всі многочлени незвідні, тобто взаємнопрості, а тому ділиться на добуток многочленів , тобто . Тоді ст .

№10

Теорема.

Незвідними над полем є всі многочлени 1-го степеня і лише вони.

(Доведення)

якщо степінь дорівнює 1, то многочлен незвідний, якщож степінь більший 1 то за наслідком многочлен можна розкласти в добуток многочленів 1-го степеня і - звідний.

Незвідні многочлени над плем дійсних чисел

Визначимо деякі типи незвідних многочленів над полем . Припустимо степеня 1. Такий многочлен незвідний.

Припустимо степінь рівний 2 і многочлен не має дійсних коренів – незвідний над .

Інших незвідних многочленів над полем не існує.

Лема.

Нехай многочлен з дійсними коефіцієнтами степеня більшого 2-х. комплексний корінь многочлена , тоді теж корінь многочлена .

(Доведення)

Доведемо деякі властивості комплексноспряжених чисел:

1. ;

2. (аналогічно)

Доведемо твердження леми , де за умовою і .

№11

Звідні многочлени на полі раціональних чисел

Будемо розв’язувати задачу пошуком раціональних коренів многочлена з раціональними коефіцієнтами. , де домножимо многочлен на при цьому корені многочлена не змінюються, але ми одержимо многочлен з цілими числами.

Задача пошуку раціональних коренів многочлена з раціональними коефіцієнтами зводиться до пошуку раціональних коренів многочлена з цілими коефіцієнтами.

Теорема.

Нехай нескоротиий дріб є коренем многочлена з цілими коефіцієнтами , де , тоді

1. дільник ;

2. ;

(Доведення)

За умовою корінь многочлена , тобто . Домножимо даний вираз на маємо (1)

. Всі доданки в правій частин і містять , а тому . Дріб нескоротний дріб, тому і , взаємнопрості числа.

З рівняння (1) рдержимо всі доданки вправій частині діляться на , тому і оскільки , взаємнопрості числа, то .

Перепишемо рівність (1) у вигляді . Нехай многочлен вигляду , де тоді многочлен з цілими коефіцієнтами і з рівності (1) випливає, що число цього ногочлена. За теоремою Безу , де многочлен з цілими коефіцієнтами, які можна знайти за схемою горнера. Тоді цілі числа, а тому . Припустимо оскільки , взаємнопрості числа, то і .

Якщо , то вибераємо , тоді і

. Покажемо, що числа і взаємнопрості. Припустимо спільний дільник. Тоді

і , але числа , взаємнопрості, тому . Остаточно .

№12

№13

В алгебре

В алгебре примитивный многочлен — это всякий многочлен , где R — ассоциативно-коммутативное кольцо с однозначным разложением на множители, коэффициенты которого не имеют нетривиальных общих делителей.

Любой многочлен можно записать в виде