Лабораторная работа 1
Тема: «Планирование экстремальных экспериментов. Построение регрессионных моделей»
Цель работы: изучение основных понятий, определений, принципов теории планирования экспериментов, приобретение навыков проведения экспериментов по построению математических моделей, ознакомление с методикой построения регрессионных моделей.
Основные понятия
Эксперимент – метод научного исследования, когда исследователь активно и целенаправленно воздействует на объект исследования путем создания искусственных условий или использования естественных условий, необходимых для выявления конкретных свойств объекта.
Эксперименты делятся на пассивные и активные (управляемые). В пассивном эксперименте контролируемые (входные) параметры нельзя изменять, в активном – можно.
Планирование эксперимента – область знания, связанная с построением и оптимизацией математических моделей.
Объект исследования рассматривается как носитель некоторых неизвестных или подлежащих исследованию свойств и качеств – своеобразный «черный ящик». При этом вектор 
, 
… 
представляет собой группу контролируемых и управляемых величин, которые могут изменяться определенным образом в ходе эксперимента, а 
, 
… 
контролируемые характеристики. Характеристики (, … 
) также называют факторами или управляемыми воздействиями. Функция Y – функция отклика (поверхность отклика), представляет собой реакцию системы на воздействие факторов.
Также можно выделить и третью, не обозначенную на идеальной модели систему входных сигналов – это шумы или помехи, которые обусловлены многими факторами: ошибками обслуживающего персонала, влиянием внешней среды, погрешностью приборов и т.д. К этой же группе относятся воздействия, которые не могут контролироваться либо из-за их сложности, либо из-за незнания их природы и невозможности контроля.
Характеристики объектов имеют различную физическую природу, а, следовательно, и размерность, что затрудняет построения модели. Поэтому на практике значения факторов, которые имеют реальный физический смысл, нормируют (приводят к определенному ранее заданному набору значений).
Для любого фактора Х существует нижний Хmin и верхний Xmax уровни
изменения значений.
Структурная схема объекта (процесса)
При проведении активного эксперимента
Факторное пространство
Приведем алгоритм нормировки фактора:
· выбираем масштаб и положение осей координат таким образом, чтобы 
соответствовало –1, а 
+1.
· вычисляем значение 
для данного фактора следующим образом 
.
· вычисляем интервал изменения фактора 
.
· находим нормированное значение 
для каждого фактора 
.
Зависимость реакции объекта от точки факторного пространства называется функцией отклика 
, а ее геометрическое представление 
– поверхностью отклика. Векторов значений функции отклика может быть столько, сколько опытов.
Проведение эксперимента
Эксперимент состоит из опытов (воспроизведение исследуемого явления). Под планированием эксперимента понимают выбор плана эксперимента – совокупности данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов. Каждый опыт эксперимента характеризуется определенным набором значений факторов.
Вектор, содержащий некоторый набор конкретных значений факторов 
, определяет q-ю точку плана эксперимента. Совокупность векторов 
(q = 1, 2, …, n) образует план эксперимента (матрица, содержащая k строк и n столбцов, каждая строка которой образует точку плана эксперимента, а столбец фактор эксперимента).
| 
| 
| … | 
|
| 
| 
| … | 
|
| … | … | … | … | … |
| 
| 
| … | 
|
Совокупность всех точек плана, отличающихся уровнем хотя бы одного
фактора (различных строк матрицы планирования), называется спектром плана. Матрица, получаемая из всех различных строк плана – матрица спектра плана. Она отличается от приведенной выше матрицы только числом строк (из-за отсутствия повторяющихся точек плана). При количестве точек спектра плана G, ее размерность будет составлять: G строк на N столбцов.
Применяется также матрица дублирования, размерность которой совпадает с размерностью матрицы спектра плана. Она имеет вид:
| … | |||
| … | |||
| … | … | … | … | … |
| … | 
|
Здесь 
- число параллельных опытов в точке спектра плана с номером j (j = 1, 2, …, N). Т.е. это число характеризует дублирование соответствующей строки в матрице спектра плана.
Построение регрессионных моделей
Для описания объектов управления часто используются полиномиальные модели. При этом в качестве базисного выражения используется ряд Тейлора, имеющий конечное число членов.
Но при использовании аппроксимирующего полинома Тейлора в приведенном выше виде возникает ряд проблем, связанных с нахождением производных, так как неизвестна функция, а известен только ряд ее значений.
Поэтому заменим полином Тейлора на аналогичное ему уравнение регрессии 
где k – число столбцов в матрице планирования. Построим линейную регрессионную модель. Для ее экспериментального получения используем план первого порядка (факторный эксперимент первого порядка).
Для k- факторного эксперимента достаточно k+1 опытов. При определении коэффициентов регрессии должны выполняться необходимые и достаточные условия:
1. Результаты измерений выходной величины Y в N точках факторного пространства – нормально распределенные величины.
2. Дисперсии реализации во всех точках факторного пространства одинаковы, то есть не зависят от абсолютного значения величины и от направления обхода факторного пространства.
3. Входные переменные (факторы) – это независимые величины, которые измеряются с бесконечно малой ошибкой по отношению к ошибке выходной величины.
Оценка выполняется по критерию Фишера.
Любой многофакторный эксперимент является результатом варьирования всех факторов.
