Б.И. Мясников
«Определение погрешностей при измерении периода колебаний
математического маятника»
Методические указания к выполнению лабораторной работы № 1
по курсу «Физические основы механики, молекулярной физики и
термодинамики».
Калуга 2006 г.
Цель работы - изучить характер распределения погрешностей прямых измерений и оценить их величину при определении периода колебания математического маятника.
Теоретическая часть.
Погрешности при измерениях.
Измерить физическую величину - значит сравнить ее с другой однородной величиной, принятой за эталон (за меру). Этому эталону присваивают конкретное название единицы измерения.
Различают прямые измерения, при которых искомая величина измеряется непосредственно, и косвенные измерения, при которых искомая величина связана функциональной зависимостью с другими величинами, измеряемыми непосредственно. Например, при определении скорости движения тела могут быть измерены длина пройденного пути и затраченное на этот путь время, а затем по известным формулам рассчитана скорость тела.
Из-за несовершенства измерительной аппаратуры при любых измерениях получаются лишь приближенные значения измеряемых величин. Это означает, что при любых измерениях мы неизбежно допускаем некоторые ошибки (погрешности). В задачу измерений, кроме определения измеряемой величины, входит оценка допущенных погрешностей.
Погрешности делятся на две основные группы: систематические и случайные.
Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью измерительных приборов, неточностью метода измерений, неточностью изготовления объекта измерений. Например, шкала линейки может быть неравномерной, стрелка амперметра может не стоять на нуле при отсутствии электрического тока, капилляр термометра может иметь на различных участках различное сечение и т.д. Такие ошибки принципиально устранимы.
Случайные погрешности обусловлены большим числом как объективных, так и субъективных причин, действие которых на каждое измерение не может быть учтено заранее. К таким погрешностям приводят неточность измерительных приборов, связанная, например, с изменением силы трения в движущихся частях приборов; непостоянство внешних условий опыта, например, случайные колебания температуры; несовершенство органов чувств и т.п.
Исключить случайные погрешности нельзя, но оценить их можно, поскольку они подчиняются законам теории вероятностей, установленным для случайных явлений.
Оценка случайных погрешностей прямых измерений.
В теории погрешностей делается два основных предположения:
1) случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;
2) большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются реже, чем малые.
Если провести серию из 
прямых измерений некоторой физической величины 
и получить при этом значения
,
то, очевидно, средняя арифметическая величина
будет достовернее отдельных результатов.
Назовем абсолютной погрешностью измерения разность между истинным значением измеряемой величины и результатом каждого измерения:
При бесконечно большом числе измерений в силу первого предположения, среднее арифметическое значение будет равно истинному значению определяемой величины:
(при 
),
ибо в этом случае среднее арифметическое значение абсолютной погрешности обратилось бы в нуль:
При ограниченном количестве измерений среднее арифметическое значение 
будет отличаться от истинного. Чтобы оценить это расхождение, нужно уставить некоторый интервал, в пределах которого лежит измеряемая величина (доверительный интервал). Для того чтобы найти этот доверительный интервал, необходимо установить, с какой частотой появляются погрешности различной величины, т.е. установить закон распределения погрешностей. Теория вероятностей помогает найти этот закон. Величина погрешности 
может принимать различные значения.
Разобьем полный интервал изменения переменной величины на более узкие равные интервалы и будем определять, с какой частотой появится погрешность в данном узком интервале (Рис. 1.).
При стремлении ширины узкого интервала к нулю и числа измерений к бесконечности ломаная линия превращается в плавную кривую распределения погрешностей, аналитическая формула которой имеет вид:
Функция 
называется плотностью распределения вероятностей погрешности . Здесь 
- основание натуральных логарифмов, 
- некоторый параметр распределения.
В этом законе максимум кривой соответствует 
. Следовательно, при бесконечно большом числе измерений истинное значение величины оказывается наиболее вероятным.
Входящий в этот закон распределения (Гаусса) параметр 
называется дисперсией. Эта величина характеризует разброс погрешностей: при большом значении дисперсии кривая расплывается; в случае 
большие отклонения от истинного значения измеряемой величины встречается чаще, чем в случае 
(Рис. 2.).
Величина зависит от условий измерений и может быть приближенно выражена через измеряемые величины. Можно показать, что если число наблюдений очень велико (), то величина дисперсии оказывается равной среднему арифметическому квадрату погрешностей отдельных измерений (Рис. 1.):
При ограниченном числе измерений приближенным выражением для дисперсии распределения погрешностей результата серии измерений будет:
Рис. 1. Закон нормального распределения Гаусса.
Рис. 2. Пример кривых Гаусса.
В этом случае погрешность отдельного измерения находится как разность между средним арифметическим значением и результатом данного измерения.
После того как выполнена серия измерений и получено среднее арифметическое значение этой серии, а также определена дисперсия этих измерений, можно определить, насколько среднее арифметическое значение отличается от истинного значения измеряемой величины. Для этого в теории погрешностей пользуются понятием «доверительный интервал» и «надежность». Эти понятия взаимно связаны и определяются следующим образом.
Под доверительным интервалом принимается интервал, в середине которого расположено среднее арифметическое значение измеряемой величины.
,
где 
- полуширина доверительного интервала, которая является оценкой погрешности результата серии измерений.
Истинное значение измеряемой величины с заданной надежностью находится в заданном интервале.
Под надежностью результата серии измерений понимается вероятность 
того, что истинное значение измеряемой величины попадает в доверительный интервал. Величина выражается в процентах или долях единицы. Чем больше значение погрешности , тем с большей надежностью искомая величина попадает в этот интервал.
Задавая в долях 
, можно получить величину надежности в соответствии с кривыми распределения погрешностей. Так, при многократном повторении серии по измерений в каждой серии, где 
, и при 
, т.е. в случае доверительного интервала 
, надежность 
(или 68 %). Это значит, что за пределы доверительного интервала выпадает 
32 % результатов серий измерений.
При 
В последнем случае лишь 0,3 % результатов серий измерений выпадает за пределы доверительного интервала. На Рис. 3. приведены графики, характеризующие величину надежности (заштрихованная площадь кривой). Здесь
,
где 
- коэффициент, определяющий величину доверительного интервала.
Рассмотренный нами закон нормального распределения Гаусса оказывается несправедливым при малых значениях числа измерений.
Английскому ученому Госсету (псевдоним «Стьюдент») удалось получить кривые распределения в случае небольшого числа измерений. Распределение Стьюдента позволяет оценить величину погрешности результата и найти доверительный интервал при заданном числе измерений и заданной величине надежности.
Пределы истинного значения измеряемой величины
могут быть найдены с помощью определенных коэффициентов Стьюдента 
.
Искомая величина находится в виде:
,
где 
,
,
- средняя квадратичная погрешность результатов измерений.
Коэффициент находится по таблице приложения для соответствующих величин числа измерений и надежности.
Для оценки точности измерений вводится понятие относительной погрешности 
:
Обычно эта погрешность выражается в процентах:
Рис. 3.
Вычисления при обработке результатов прямых измерений рекомендуется проводить в определенном порядке:
1. Записать результаты каждого измерения в таблицу.
2. Вычислить среднее значение из измерений:
3. Найти погрешность отдельных измерений
4. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений
Резко отличающиеся измерения отбросить, считая их промахами.
5. Определить среднюю квадратичную погрешность результата серии измерений:
6. Задать значение надежности .
7. Определить коэффициент Стьюдента 
для заданной надежности и числа произведенных измерений по таблице (см. приложение).
8. Найти полуширину доверительного интервала (погрешность результата измерений)
9. Если величина погрешности результата измерений окажется сравнимой с величиной погрешности прибора, то в качестве полуширины доверительного интервала взять величину
,
где 
,
- величина погрешности прибора.
У некоторых приборов за погрешность принимается цена деления прибора.
