Рис1. Сложение колебаний при интерференции (в точке М1 – усиление, в точке М2 – ослабление колебаний)

Интерференция света

В оптике существует ряд явлений, которые можно объяснить в рамках волновых представлений о природе света. К ним относятся интерференция, дифрак­ция и поляризация света.

В основе волновой оптики лежат уравнения Максвелла и вытекающие из них соотношения для электромагнитных волн [I]. Свет, распространяющийся от точечного источника, описывается волновыми уравнениями

E = E ₀cos(ω t – kr); (1)

H = H ₀cos(ω t – kr); (2)

где E и H – векторы напряженности электрического и магнитного полей волны соответственно, E ₀ и H ₀– их амплитуды, w – круговая частота, r – расстояние от источника, k=2p/l – волновое число. Величина в скобках формул (1) и (2), a=w t - kr, называется фазой волны.

Посколькуосновное взаимодействие света с веществом связано с вектором Е, то его принято называть световым вектором. Интенсивность I световой волны пропорциональна квадратуамплитуды светового вектора

(3)

где с – скорость света, e – диэлектрическая проницаемость среды. В классической волновой оптике действует принцип суперпозиции световых волн: возмущение от двух и более волн в какой-либо точке равно векторной сумме возмущений от каждой волны в отдельности.

Явление интерференции состоит во взаимном усилении или ослаблении световых волн при их наложении друг на друга. Необходимым условием наблюдения интерференции световых волн является их когерентность, то есть постоянство разности их фаз в промежутке времени, достаточном для наблюдения.

Рассмотрим интерференцию на примере двух монохроматических волн с частотой w и световыми в екторами Е₁ и Е₂, которые распространяются от двух источников S₁и S₂ (рис.1).

Рис1. Сложение колебаний при интерференции (в точке М1 – усиление, в точке М2 – ослабление колебаний).

 

Колебания, вызываемые этими волнами, например, в некоторой точке М₂, описываются уравнениями

E₁=E₀₁cos(w t – kr ₁) и

E₂=E₀₂cos(w t – kr ₂),

где r ₁ и r ₂ – расстояния от источников света до точки М₂. Согласно принципу суперпозиции, при наложении волн возникает результирующее колебание

E=E₁+E₂=E₀cos(w t +a),

амплитуда E ₀ которого определяется по правилу сложения векторов [1]:

Е₀ ² = Е ₀₁² + Е ₀₂² + 2Е ₀₁ E ₀₂cos(a₂–a₁)

Разность фаз (a₂–a₁) в этом случае зависит от геометрической разности хода r ₂– r ₁ волн:

(a₂–a₁) = – k (r ₂ – r ₁) (4)

Так как I ≈ Е₀ ² (формула (3)), то суммарная интенсивность света при наложении двух волн равна

Если волны некогерентны (a₂ – a₁ ¹ const) и разность фаз меняется случайным образом, то среднее по времени -значение (соs(a₂ – a₁)) =0. При этом интенсивность света равна сумме интенсивностей от каждой волны в отдельности:

I = I₁ + I₂

 

В случае когерентных волн разность фаз постоянна (a₂ – a₁ = const), и в зависимости от ее величины может наблюдаться как взаимное усиление волн, так и их ослабление. Максимальная интенсивность наблюдается при максимальном значении соs(a₂ – a₁) =1, это будет в точках пространства для которых разности фаз

, (5)

 

а минимальная интенсивность – наблюдается при минимальном значении соs(a₂ – a₁) =-1, это будет в точках пространства для которых разности фаз

(6)

Из этого в частности следует, что если накладываются когерентные волны равной интенсивности,

I ₁ = I ₂, то результирующая интенсивность принимает значения от I _min = 0 до I _max = 4 I ₁.

Рассмотрим случай, когда две волны распространяются в различных средах. Пусть волна от источника S ₁ на рис. 1 распространяется в среде с показателем преломления п ₁, а волна от источника S ₂ – в среде с п ₂. В этом случае формула (4) дает следующее выражение для разности фаз волн в точке М₂:

(7)

поскольку длина волны, а значит и волновое число k, зависит от показателя преломления среды: l1 = l/n1, l2 = l/n2 (l – длина волны в вакууме). Формулу (7) можно переписать в виде .

Величина D = r2n2 – r1n1 называется оптической разностью хода. Из формул (5)—(7) следует, что максимум и минимум интерференции наблюдается в том случае, если оптическая разность хода соответственно равна (условия максимума и минимума интерференции)

и (8а)

(8б)

где т-=- ±0,1,2... – целое число, определяющее порядок интерференционного максимума или минимума.

Для получения когерентных волн с помощью обычных источников применяют различные методы разделения света от одного и того же источника излучения. Подробнее о когерентности волн и методах их получения от обычных источников света представлены в приложении.

 

Опыт Юнга

Первое наблюдение интерференции принадлежит Т. Юнгу. Источником света в опыте Юнга служит ярко освещенная щель S (рис. 2).

Свет от нее попадает на две узкие одинаковые щели S1 и S2, параллельные S. От щелей S1 и S2 распространяются две когерентные волны, интерференция которых наблюдается на экране Э. При освещении щелей монохроматическим светом, например, красным, интерференционная картина имеет вид чередующихся красных и черных полос, интенсивность которых постепенно убывает к периферии. На рисунке показана центральная полоса – главный максимум (максимум нулевого порядка) – и два побочных максимума (порядка m ± 1, 2). При освещении щелей белым светом интерференционные полосы расщепляются в спектр. Это связано с тем, что условие максимума интерференции для разных длин волн (разных цветов) выполняется в разных точках экрана. Другими словами, цвет в какой-либо точке экрана определяется той длиной волны, для которой выполняется условие максимума в этой точке.

Более подробно об опыте Юнга, а также других методах наблюдения интерференции можно прочесть в учебниках [1, 2].

 

Интерференция света в тонких пленках

Интерференцию часто можно наблюдать в природе. Например, радужное окрашивание масляных пленок на воде и мыльных пузырей возникает в результате интерференции света, отраженного от поверхностей пленки. Пусть на плоскопараллельную пленку с показателем преломления п и толщиной d падает плоская монохроматическая

волна под углом i (рис.3). Падающая волна (луч 1) частично отражается от верхней поверхности пленки (луч 1¢) и частично преломляется (луч 1"). Поскольку эти две волны возникли вследствие деления одной и той же падающей волны, то они когерентны. Накладываясь друг на друга в некоторой точке Р фокальной плоскости линзы Л, эти волны интерферируют. Из рис.3 следует, что оптическая разность хода лучей 1' и 1", достигших точки Р, равна

(9)

Добавочный член l /2 в формуле (9) учитывает потерю полуволны при отражении луча 1' от оптически более плотной среды в точке О. С учетом законов преломления и отражения света формулу (9) можно преобразовать к виду

(10)

Если , то в точке Р наблюдается максимальная интенсивность света, а если , то минимальная (см. формулы (8а) и (8б)).

Так как отраженные от пленки лучи параллельны, то их интерференцию можно наблюдать невооруженным глазом, если аккомодировать его на бесконечность. Глядя на пленку под углом i, мы увидим ее окрашенной в тот цвет, для которого при данном угле падения выполняется условие максимума.

Вообще говоря, интерференцию можно наблюдать и по другую сторону пленки, т.е. в проходящем свете. В этом случае интерферируют лучи, разделенные в точке С. В этом случае оптическая разность хода D уже не содержит дополнительного слагаемого l/2, поэтому максимуму в проходящем свете будет соответствовать минимум в отраженном свете, и наоборот.

Полосы равного наклона

Из формулы (10) следует, что оптическая разность хода D лучей, а, следовательно, и результат интерференции в тонких пленках, определяются четырьмя величинами – l, d, п и i. В зависимости от того, какая из величин – i или d – является переменной, различают полосы равного наклона и равной толщины.

Пусть плоскопараллельная пластина толщиной d освещается рассеянным монохроматическим светом от точечного источника S (рис. 4).

 

Рассмотрим три луча 1, 2 и 3, плоскость падения которых совпадает с плоскостью рисунка, а углы падения равны соответственно i ₁, i ₂ и i ₃ При отражении от верхней и нижней поверхности пластины лучи интерферируют в точках Р ₁, Р ₂ и Р ₃, усиливая или ослабляя друг друга в зависимости от угла падения. Такие же точки образуют лучи, лежащие в других плоскостях падения. Совокупность точек с одинаковой освещенностью дают на экране интерференционные полосы в виде концентрических эллипсов. Поскольку каждая из таких полос образована лучами, падающими на пластину под одним и тем же углом (под одинаковым наклоном), то они называются полосами равного наклона. При освещении пластины белым светом полосы имеют радужную окраску.

Лучи, отразившиеся от верхней и нижней граней плоскопараллельной пластины, параллельны друг другу и «пересекаются» в бесконечности. Поэтому го­ворят, что полосы равного наклона локализованы в бесконечности. Их можно наблюдать невооруженным глазом, если аккомодировать его на бесконечность.

 

Полосы равной толщины

Рассмотрим другой случай, когда переменной величиной является толщина пластины d. Возьмем два параллельных луча 1 и 2 от монохроматического источника, падающих на поверхность прозрачного клина с углом q (рис. 5).

В результате отражения от верхней и нижней поверхностей клина когерентные световые лучи 1¢ и 1", 2' и 2" интерферируют в точках B ₁ и В ₂, усиливая или ослабляя друг друга в зависимости от толщины клина в точках падения. Совокупности точек с одинаковой освещенностью образуют интерференционные полосы, которые в этом случае называются полосами равной толщины, поскольку каждая образована лучами, отраженными от мест с одинаковой толщиной клина.

Так как интерферирующие лучи пересекаются вблизи поверхности клина, то принято говорить, что полосы равной толщины локализованы вблизи поверхности клина. Их можно наблюдать невооруженным глазом, если угол q достаточно мал (<1°), или использовать микроскоп.

Кольца Ньютона

Частным случаем полос равной толщины являются кольца Ньютона. Они наблюдаются при отражении света от верхней и нижней границ воздушного зазора между плоскопараллельной пластинкой и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой с большим радиусом кривизны R (рис.6).

Параллельный пучок света падает нормально на плоскую поверхность линзы и частично отражается от верхней и нижней поверхности воздушного зазора между линзой и пластинкой. Для наглядности лучи 1¢ и 1", отраженные от воздушного зазора, изображены рядом с падающим лучом. При наложении отраженных лучей возникают полосы равной толщины. Толщина воздушного зазора d меняется симметрично в разные стороны относительно точки касания линзы и пластины. Поэтому полосы равной толщины имеют вид концентрических окружностей, которые принято называть кольцами Ньютона.

Определим радиус r кольца Ньютона, образованного лучами, отраженными отповерхностей воздушного зазора толщиной d. Из рис.6 следует, что

Поскольку d<<R, то членом d ² можно пренебречь и тогда

(11)

Толщина зазора определяет оптическую разность хода D, которая, с учетом потери полуволны на отражение, равна

(12)

Подставив сюда d из формулы (11), получим

(13)

Если , то наблюдается светлое кольцо максимальной интенсивности, для радиуса которого формула (13) дает

(14)

 

где – номер кольца. Если , то наблюдается темное кольцо. Радиус т- го темного кольца равен

(15)

 

Из формул (14) и (15) следует, что радиусы колец Ньютона и расстояние между ними растут с увеличением радиуса кривизны линзы (или другими словами, с уменьшением угла между линзой и пластинкой).

Если на линзу падает белый свет, то в отраженном свете наблюдается центральное темное пятно, окруженное системой цветных колец, которые соответствуют интерференционным максимумам для разных длин волн. В проходящем све­те потеря полуволны l/2 при отражении света от воздушной прослойки происходит дважды. Поэтому светлым кольцам в отраженном свете будут соответствовать темные кольца в проходящем свете и наоборот.

При наличии любых, даже незначительных дефектов на поверхности линзы и пластинки правильная форма колец искажается, что позволяет осуществлять быстрый контроль качества шлифовки плоских пластин и линз.

 

Лабораторная работа 302