Определение размеров и объемов твердых тел правильной формы

 

Неотъемлемой частью всякого исследования является эксперимент. В научных экспериментах и теоретических исследованиях, при решении задач и выполнении лабораторных работ по физике мы встречаемся с различными значениями физических величин. Они определяются в результате расчетов или измерений, находятся из таблиц или графиков. В большинстве случаев эти значения приближенные.

Физический эксперимент предполагает измерения. Измерением называется нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств. Измерения делятся на прямые и косвенные.

Прямым измерением называется такое измерение, при котором значение интересующей нас величины находится непосредственно из отсчета по прибору. Например, измерение длины линейкой, времени секундомером, тока амперметром. В первой части лабораторной работы проводились как раз прямые измерения.

Косвенное - это измерение, при котором значение величины находится как функция других величин. Например плотность вещества r определяют по массе m и объему тела V (r = m / V), сопротивление R резистора - по напряжению U и силе тока I в нем (R = U / I).

При измерении находится не абсолютно точное, а приближенное значение искомой физической величины. Иными словами, в результате измерений содержится погрешность. Погрешность измерения является количественной мерой неизвестной экспериментатору ошибки.

Ошибки делятся на случайные, систематические и промахи.

Вычисление объема тела относится к косвенным измерениям, т.к. искомая величина задается как некоторая функция других величин, определяемых путем прямых измерений, в нашем случае параметров (длины, высоты и ширины).

Если исследуемая величина А равна сумме или разности двух измеренных величин

, (6)

то наилучшее значение величины (среднее арифметическое) А равно сумме (или разности) наилучших значений слагаемых:

. (7)

Среднеквадратичная погрешность s_А, если величины В и С независимы находится по формуле:

(8)

В случае, когда искомая величина равна произведению или частному двух других,

(9)

то искомая величина равна произведению или частному средних значений, измеренных величин.

Среднеквадратичная погрешность произведения и частного независимых величин находится по формуле:

(10)

При записи погрешности следует округлять ее величину до двух значащих цифр, если первая из них является 1, и до одной значащей цифры во всех остальных случаях. Отметим также, что при измерениях, при расчетах и при записи результатов, кроме надежно известных значащих цифр, всегда указывается одна лишняя, а при окончательной записи результат округляется до того количества знаков, что и полная (суммарная) погрешность.

Случайные погрешности эксперимента исследуются путем сравнения результатов, полученных при нескольких опытах, поставленных в одинаковых условиях. Два-три измерения следует производить всегда. Если результаты совпали, то на этом следует остановиться. Если же они расходятся, нужно попытаться понять причину расхождения, проделав еще несколько измерений

Формула (3) из первой части лабораторной работы позволяет хорошо оценивать величину стандартной погрешности измерений в тех случаях, когда число опытов оказывается не меньше 4-5. При меньшем числе опытов лучше применять другие, более сложные оценки, но надежность всех этих оценок при малом числе измерений оказывается невысокой.

Систематическая погрешность оценивается по классу точности используемого прибора и по контрольным опытам. Класс точности определяет максимально возможное значение погрешности. Чтобы оценить среднеквадратичную погрешность измерений следует погрешность, определяемую классом точности прибора разделить на два. Обычно приборы изготавливают так, что одно деление шкалы приблизительно равно максимальной погрешности прибора.

Несколько слов о точности линеек. Погрешность измерений проводимых с помощью линеек, практически равна погрешности отсчета на глаз, т.е. половине цены деления.

Т.к. в реальных условиях опыта присутствуют как систематические, так и случайные ошибки, суммарная погрешность находится по формуле:

(11)

Обратим внимание на важную особенность формулы (11). Если одна из ошибок в 2 раза меньше другой, тогда ее вклад в полную ошибку будет ~ 12 %, а так как погрешности редко удается оценить с точностью лучше 20 %, то с точностью 20 % полная ошибка равна большей из суммируемых. Таким образом, меньшая погрешность почти ничего не добавляет к большей, даже если она составляет половину от нее. Этот вывод очень важен. В том случае, если случайная ошибка опытов хотя бы вдвое меньше систематической, нет смысла производить многократные измерения, так как полная погрешность опыта при этом практически не уменьшается, и нет смысла проводить большие расчеты, т.к. меньшей погрешностью можно пренебречь.

Итак, измерения достаточно произвести 2-3 раза, чтобы убедиться, что случайная ошибка действительно мала.

 

Измерения:

Прежде чем приступить к работе, ознакомьтесь с устройством штангенциркуля и принципом построения его нониусной шкалы.

 

Нониус. Соединим вместе две разномасштабные линейки, как это показано на рис. 2. Пусть цена деления (длина одного деления) верхней линейки равна l₁, а нижней — l₂. Линейки образуют нониус, если существует такое целое число k, при котором

. (12)

Рис. 2. Нониусная шкала.

 

У линеек, изображенных на рис. 2, k =4. Нижний знак в формуле (12) относится к случаю, когда l₂>l₁,т. е. деления нижней линейки длиннее делений верхней. Если l₁ > l₂, следует выбирать верхний знак. Для определенности будем считать, что l₂<l₁ Величина

(13)

называется точностью нониуса. В частности, если l₁ = 1 мм, а k = 9, то точность нониуса. δ = 0,1 мм.

Как видно на рис. 2, при совпадении нулевых деленийнанижней и на верхней шкалах совпадают, кроме того, совпадают k-e деление верхней и (k +1)-е деление нижней шкалы, 2k -е деление верхней и 2(k +1)-е деление нижней шкалы и т. д. Начнем медленно сдвигать нижнюю линейку вправо. Нулевые деления линеек разойдутся, и сначала совпадут первые деления линеек. Это случится при Δ l = l₁ - l₂ =δ, т. е. при сдвиге, равном точности нониуса. При двойном сдвиге совпадут вторые деления линеек, и т. д. Если совпали т- е деления, то можно утверждать, что нулевые деления линеек сдвинуты на тδ.

Сказанное справедливо в том случае, если сдвиг нижней линейки относительно верхней не превышает одного деления верхней линейки. При сдвиге ровно на деление (или на несколько делений) нулевое деление нижней шкалы совпадает уже не с нулевым, а с первым (или n -м) делением верхней линейки.

Для удобства нижнюю линейку делают обычно короткой, так что совпадать с верхними делениями может лишь одно из делений этой линейки.

В технике нониусом называют вспомогательную шкалу (короткую линейку), с помощью которой производят отсчет долей делений основной шкалы, называемой масштабом. При любом положении нониуса относительно масштабной линейки одно из делений нониуса совпадает (или почти совпадает) с каким-либо делением масштаба.

Рис. 3. Измерение диаметра цилиндра по нониусной шкале.

 

Применим нониус для измерения диаметра цилиндра (рис. 3). Как видно из рисунка,

(14)

Здесь n — целое число делений масштаба, а m— номер деления нониуса, совпадающего с одним из делений масштаба (в том случае, если ни одно из делений нониуса не совпадает в точности с делениями масштаба, в качестве m берут номер деления, которое ближе других подходит к одному из делений масштаба). На рис.: n = 5, m = 2

Аналогичным образом можно строить не только линейные, но и угловые нониусы. Нониусами снабжаются штангенциркули, теодолиты и многие другие приборы.

Рис. 4. Штангенциркуль.

Показаны различные способы измерения толщины бруска, диаметра отверстия и высоты выступа.

 

На рис. 4 изображен штангенциркуль с точностью нониуса 0,1 мм. Детали: 1 — это части ползунка, который можно перемещать вдоль масштабной линейки 2, освободив стопорный винт 3. При нулевом показании инструмента нуль нониуса совпадает с нулевым штрихом масштабной линейки. При измерении ползунок смещается, и размеры отсчитываются с помощью нониуса так, как это изображено на рис. 3. Для рис. 3: D = 5 + 2*0,1 = 5,2 (мм).

 

С помощью штангенциркуля измерьте линейные размеры параллелепипеда. Измерение каждого параметра (длины, высоты, ширины) проведете на 5¸10 различных участках тела. Измерения одного и того же размера тела, проведенные на различных его участках, лучше всего при вычислении усреднять. Сравните результаты, полученные при измерениях. Лежит ли расхождение результатов в пределах ошибок опыта? Совпадают ли между собой - в пределах ошибок опыта - измерения одного и того же размера тела, произведенные на разных его участках?

Если после 3-х измерений окажется случайная ошибка меньше систематической в 2 и более раз, то измерения можно прекращать.

Вычислите объемы промеренного тела и оцените точность полученного результата. При вычислениях следует иметь в виду, что погрешности возникают как из-за несовершенства измерительного прибора, так и вследствие не вполне правильной формы измеряемых тел. Рекомендуем подумать над тем, как можно установить, что отклонения формы измеряемого тела от правильной носят случайных или, наоборот, регулярный характер.

Вычислите плотность материала, из которого изготовлено тело (масса приведена в таблице)

Оцените погрешность вычисления плотности (см. методическое пособие по обработке результатов измерений), считая что масса известна с точностью в половину последнего действующего разряда в записи массы. (например: m=5,3 г Þ масса определена с точностью m= 5,30±0,05 г).

Оформите отчет о проделанной работе.

 

Таблица 1. Массы образцов, г.

№ образца	Сталь	Текстолит
1.	131,1	17,2
2.	174,8	33,2
3.	218,0	42,3
4.	261,2	51,3
5.	306,2	61,9
6.	348,8	71,6
7.	--	79,5