Линейные методы разделения

Компоненты вектора х могут быть дискретными или непре­рывными величинами. Дискретные величины обычно выражают разряды (интервалы) диагностических признаков (количественных или качественных), непрерывные величины —диагностические параметры системы (температуру, давление, вибрационные пере­грузки и т. п.).

Часто оказывается удобным представить объект как точку многомерного пространства (конец вектора x). Если система описывается с помощью простых (двухразрядных) признаков, то компоненты вектора выражаются двоичными числами. Тогда, естественно, каждый из объектов в пространстве простых призна­ков является одной из вершин единичного N-мерного куба. На­пример, в трехмерном пространстве объект х (011) изображается точкой, показанной на рис.1.

Во многих случаях удобно ис­пользовать трехразрядные признаки, принимая

1 наличие признака;

-1 отсутствие признака;

0 не обследовано.

Рис. 1- Пространство простых двухразряд­ных признаков

Пространство признаков располагается по граням и вершинам N-мерного куба, сторона которого равна двум. Если точка (век­тор) х относится к объекту (системе) с диагнозом Di-, то это за­писывается так:

(1)

Равенство (1) одновременно означает, что точка (объект) х относится к области диагноза D_i в пространстве признаков.

Областью диагноза D_t называется множество точек простран­ства признаков (объектов), обладающих состоянием (диагнозом) D_t. Обычно, такие области заполняют достаточно компактно часть пространства признаков. Условие компактности состоит в том, что число граничных точек мало по сравнению с общим числом точек области.

Дискриминантные и разделяющие функции. Пусть в пространстве признаков (параметров) содержатся точки, принадлежащие п различным диагнозам (состояниям) D₁…D_n

Дискриминантными функциями для этих диагнозов будем называть скалярные функции f_x (i = 1, 2,..., n), удовлетво­ряющие условию

Скаляр (от лат. scalaris — ступенчатый) — величина (возможно переменная, то есть функция), каждое значение которой может быть выражено одним числом (чаще всего подразумевается вещественное число).

Таким образом, функция f_t (x) принимает для точек диаг­ноза D₁ наибольшие значения по сравнению со всеми другими дискриминантными функциями. Обозначение f_x в краткой форме указывает зависимость функции от всех координат про­странства х₁..., x_N; fi (x)=fi (x₁ x₂,..., x_N). Пример линей­ной дискриминантной функции для 1-го диагноза

Существенное практическое зна­чение имеет разделение на два диаг­ноза (состояния) D1 и D₂ (например, исправное и неисправное).Этот случай часто называется дихотомией или дифференциальной диагностикой.

При распознавании двух состояний в качестве разделяющей функции можно принять разность соответствующих дискриминантных функций

Для повышения надежности распознавания применяют «по­роги чувствительности»