Тема 3. Банаховы пространства

Основные понятия: нормированное векторное пространство, последовательность Коши (фундаментальная последовательность), полнота пространства, эквивалентные нормы, ряды в банаховых пространствах, критерий банаховости.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача №1. Доказать, что в пространстве C¹ [ a, b ] нормы

,

эквивалентны.

Решение. Две нормы являются эквивалентными, если они подчинены друг другу. Норма подчинена , если сущeствует положительная константа a, такая, что

.

.

С другой стороны, используя формулу Ньютона-Лейбница для непрерывно-дифференцируемых функций

,

получим неравенство . Проинтегрируем обе части по t: или

.

Таким образом,

.

Задача № 2. Является ли пространство C¹ [0, 1] банаховым по норме

.

Решение. Нормальное векторное пространство является банаховым, если любая последовательность Коши в нем сходится. По определению последовательность является последовательностью Коши, если при n, m ® ¥. Имеем,

при n, m ® ¥. Значит,

и при n, m ® ¥ одновременно.

В силу полноты пространства L [0, 1] последовательность x_n(t) сходится в среднем к функции x₀(t), а последовательность непрерывных функций сходится равномерно к непрерывной функции j(t). Мы должны показать, что x₀(t) Î C¹ [0, 1] и . Из сходимости в среднем следует, что существует подпоследовательность , сходящаяся к x₀(t) почти всюду. Пусть для t = t₀ и при k ® ¥, тогда . Перейдем к пределу при k ® ¥, получим

почти всюду.

Учитывая, что x₀(t) абсолютно непрерывная функция, имеем .

Данная задача может быть решена и следующим образом. Известно, если в пространстве заданы две эквивалентные нормы, по одной из которых пространство банахово, то оно банахово и по второй норме. В задаче № 1 мы показали, что наша норма эквивалентна норме , по которой C¹ [0, 1] банахово. Значит C¹ [0, 1] банахово и по норме .

Задача №3. Доказать, что пространство M [ a, b ] - ограниченных на отрезке [ a, b ] функций с нормой является банаховым.

Решение: Пусть x_n - последовательность Коши в пространстве M [ a, b ]. Это значит, что x_n(t) - ограниченные на отрезке [ a, b ] функции и . (*)

Зафиксируем t, получим числовую последовательность x_n(t) такую, что при n, m ® ¥. Это означает, что x_n(t) является числовай последовательностью Коши и сходится в силу полноты R. Пусть . Получили функцию x₀(t), к которой последовательность x_n(t) сходится точечно. Остается доказать, что x_n(t) Î M [ a, b ] и при n ® ¥. Перейдем в равенстве (*) к пределу при m ® ¥, получим

.

Функция ограничена, значит и ограничена, так как . Таким образом, пространство M [ a, b ] является банаховым.

 

Задача № 4. Является ли последовательность

последовательностью Коши в пространстве L ₂ [-1, 1]? Найти предел, если он существует.

Решение: По определению последовательность x_n(t) является последовательностью Коши, если

.

Поскольку интегралы Лебега от эквивалентных функций совпадают, заменим x_n(t) на y_n(t) такую, что x_n(t) ~ y_n(t), где . Имеем

при m > n.

Рассмотрим последовательность , которая точечно сходится к нулю и ограничена: . Воспользуемся теоремой Лебега о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, получим

.

Это означает, что , т.е. последовательность y_n(t) и, следовательно х_n(t) является последовательностью Коши и сходится к функции ï t ïÎ L ₂ [-1,1].

Задание №1. Определите, являются ли две нормы и эквивалентными в нормированном пространстве два раза непрерывно-дифференцируемых на отрезке функций.

1.1. и ;

1.2. и ;

1.3. и ;

1.4. и

;

1.5. и

;

1.6. и

;

Определите, являются ли две нормы эквивалентными в нормированном пространстве непрерывно-дифференцируемых на отрезке [a,b] функций.

1.7. и ;

1.8. и ;

1.9. и .

1.10. Доказать, что в эквивалентна норме , где и v (t) Î .

Доказать по определению эквивалентность норм в пространстве

1.11. и ;

1.12.. и ;

1.13. и ;

1.14. и ;

Задание №2. Является ли последовательность последовательностью Коши в пространстве . Найти ее предел, если он существует.

2.1. , ;

2.2. , ;

2.3. , ;

2.4. , ;

2.5. , ;

2.6. , ;

2.7. , ;

2.8. , ;

2.9. , ;

2.10. , ;

2.11. , ;

2.12. , ;

2.13. , ;

2.14. , .

Задание №3. Выяснить, является ли заданное пространство полным по указанной норме.

3.1. Пространство непрерывно-дифференцируемых на отрезке [ a, b ] функций с нормой ;

3.2. Пространство с нормой ;

3.3. Пространство с нормой ;

3.4. Пространство l ₂ числовых последовательностей , для которых выполняются следующие соотношения:

с нормой ;

3.5. Пространство с нормой ;

3.6. Пространство с нормой ;

3.7. Пространство Rⁿ столбцов , с нормой

;

3.8. Пространство Rⁿ столбцов , с нормой

;

3.9. Пространство непрерывных функций с нормой

;

3.10. Пространство с нормой ;

3.11. Пространство Rⁿ столбцов , с нормой

;

3.12. Пространство Rⁿ столбцов , с нормой

;

3.13. Пространство k непрерывных на R конечных функций (равных нулю за пределами некоторого промежутка, своего для каждой функции) с нормой

;

3.14. Пространство , с нормой

.

Задание №4. Проверить, сходится ли ряд в нормированном пространстве Е.

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.