Тема 2. Геометрия и топология нормированного векторного пространства

ТЕМА 1. НОРМИРОВАННЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. СХОДИМОСТЬ

Основные понятия: векторное пространство, норма, нормированное векторное пространство, cходимость последовательностей по норме, сходимость в пространствах.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача № 1.

а) Задает ли норму в пространстве R функция ?

б) Показать, что в пространстве не является нормой при и .

Решение. а) Нет, не задает, ибо не выполняется вторая аксиома нормы. Действительно, если взять , , то , а . Поэтому .

б) Не является, т.к. не выполняется третья аксиома нормы. Действительно, возьмем вектор и вектор . Тогда для любого и . Однако . Поскольку , то и . Следовательно, .

Задача № 2. Найти предел последовательности в пространстве C [0,2], если он существует.

Решение: Необходимым условием сходимости последовательности в пространстве C [ a,b ] является существование предела x_n при каждом фиксированном . Заданная последовательность при заданном t сходится к функции a(t)=t. Данная функция непрерывна.

Проверим, сходится ли последовательность x_n к a(t) по норме пространства C [ a,b ], т.е. равномерно. Вычислим . По определению нормы:

Вычислим максимум функции на отрезке [0,2]. Для этого вычислим точки, подозрительные на экстремум с помощью производной.

Таким образом, точками, подозрительными на экстремум, являются точки . Поскольку , поэтому остается лишь точка . Вычислим также значение функции на концах отрезка:

. Значит, .

Это означает, что последовательность в пространстве C [0,2] сходится к функции a(t)=t.

Задача № 3. Найти предел последовательности в пространстве C [0,1], если он существует.

Решение. Последовательность для каждого фиксированного t при стремится к a(t)= 0. Покажем, что к нулю равномерно не сходится. Вычислим .

Так как , то , если .

Точкой, подозрительной на экстремум, является и точка . Непосредственной проверкой убеждаемся, что максимум достигается в точке . Поэтому .

Значит, последовательность в пространстве C [0,1] не сходится.

Задача № 4. Выяснить, сходится ли последовательность в пространстве .

Решение. Необходимым условием сходимости последовательности в пространстве является наличие покоординатного предела. Выпишем несколько членов последовательности: . Очевидно, что при , и т.д. Поэтому последовательность покоординатно сходится к точке .

Заметим, что , т.к. .

Покажем, что последовательность сходится к a по норме пространства :

при .

Следовательно, .

Задача № 5. Выяснить, сходится ли последовательность в прастранстве .

Решение. Очевидно, что является покоординатным пределом последовательности, но , т.к. ряд, составленный из единиц, не является сходящимся. Следовательно, последовательность не имеет предела.

Задача № 6. Доказать, что последовательность сходится поточечно к функции для всех , но не сходится в пространстве .

Решение. Последовательность при каждом фиксированном стремится к нулю, так как .

Вычислим

. Значит, последовательность не сходится в пространстве .

Задание №1. Можно ли в пространстве дважды непрерывно-дифференцируемых функций на отрезке [a,b] принять за норму величину:

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

Можно ли в пространстве непрерывно-дифференцируемых функций на отрезке [a,b] принять за норму величину:

1.5. ;

1.6. ;

1.7. ;

1.8. ;

Найти условия, при которых функция в пространстве l₂ определяет норму

1.9. ;

1.10 - фиксировано;

Определить, задает ли пара нормированное векторное пространство:

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

1.15. .

Задание №2. Найти предел последовательности в нормированном векторном пространстве , если он существует.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15. .

Задание №3. Найти предел последовательности в нормированном пространстве , если он существует.

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15. .

ТЕМА 2. ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ НОРМИРОВАННОГО ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА

Основные понятия: нормированное векторное пространство, сходимость последовательностей по норме, открытое, замкнутое, ограниченное, выпуклое множество в нормированном пространстве, точка прикосновения, предельная, изолированная, внутренняя, внешняя и граничная точки множества, топология нормированного векторного пространства.

Примеры решениЯ задаЧ.

Задача № 1. Является ли множество открытым, замкнутым, в пространствах . Найти его замыкание, внутренние и граничные точки в каждом из указанных пространств.

Решение. Докажем, что множество M не является открытым в пространстве C [0,1]. Рассмотрим точку , т.е. и x (0)=0. Для каждого существует функция , такая, что , как только . Функция x(t) принадлежит шару , но не принадлежит множеству M. Таким образом, у мнoжества M нет внутренних точек и M не является открытым.

Проверим, является ли множество M замкнутым в C [ a,b ]. Напомним, что , если из того, что и следует, что . Другими словами, M замкнуто, если для каждой последовательности непрерывных функций таких, что и для которых существует непрерывная на отрезке [0,1] функция такая, что при , функция удовлетворяет условию . Учитывая, что сходимость в пространстве C [0,1] равномерная, то из того, что при следует при для всех . Следовательно, . Итак, в пространстве C [a,b] множество M замкнуто и каждая его точка для множества M является граничной.

Каждый открытый шар радиуса r в пространстве CL [ a,b ] содержит открытый шар радиуса пространства C [a,b] с центром в той же точке, т.е. . Действительно, пусть , т.е. , тогда , т.е. . Значит, если множество открыто в пространстве CL [0,1], то оно открыто в C [0,1]. А так как множество M не является открытым в C [ a,b ], то оно не является открытым и в CL [ a,b ].

Докажем, что оно не является замкнутым в CL [ a,b ], точнее, . Действительно, для каждой функции существует последовательность такая, что , где и ,

, однако , что и означает незамкнутость множества.

Задача № 2. Выяснить, является ли множество открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве .

Решение. Рассмотрим последовательность , принадлежащую множеству M, которая сходится в к элементу , который множеству M не принадлежит. Значит, M не является замкнутым.

Докажем, что M не является также открытым, т.е. существует такая точка , что существует точка . Пусть . Ряд сходится, обозначим его сумму через и рассмотрим последовательность , , т.к. .

Но , так как .

Ряд расходится, т.е. , что . Если в качестве c взять , то получим, что , что , т.е. . Значит, M не является открытым. Множество M является ограниченным, так как оно содержится в шаре , где . Действительно, из условия следует, что , но тогда и .

Задача № 3. Доказать, что является подпространством пространства .

Решение. Подпространством называется замкнутое линейное многообразие. Пусть и , тогда , т.к. .

Покажем, что множество L замкнуто. Пусть и , тогда . Действительно, если , то

т.к. .

Значит, L - подпространство в СL [0,1].

Задача № 4. Доказать, что множество нигде не плотно в l₂.

Решение. По определению множество A является нигде не плотным в нормированном векторном пространстве, если оно не плотно ни в одном шаре, т.е. если в каждом шаре содержится другой шар , не имеющий с A ни одной общей точки.

Пусть - произвольный шар в . Возможны два варианта:

1) ;

2) .

Во втором случае рассмотрим шар и точку . Тогда для имеем: , т.е. , кроме того . Таким образом, в шаре всегда найдется шар , не содержащий точек множества , т.е. нигде не плотно.

Задача № 5. Доказать, что множество последовательностей из , содержащих лишь конечное число членов, отличных от нуля, плотно в .

Решение. Пусть , т.е. : . Обозначим через . Очевидно, и . Значит, является точкой прикосновения для множества , следовательно всюду плотно в .

Задание №1. Определите, является ли данное множество замкнутым, открытым в пространстве . Найдите его замыкание, внутренние и граничные точки в каждом указанном пространстве.