Математические модели химических реакторов и протекающих в них процессов

Согласно общей схеме построения математической модели в химическом реакторе (см. рис. 2.5) рассмотрим процесс в реакционной зоне. Можно так представить последовательность построении модели процесса.

1. Выяснить макроструктуру потока в реакционной зоне. Это творческий этап, требующий прецизионных измерений и интеллектуального подхода. Здесь будем рассматривать простейшие

структуры потока, чтобы получить первоначальные представления о процессе в химическом реакторе.

2. Выделить элементарный объем, в котором протекает химический процесс, как он был определен выше. Напомним, что выделенный элементарный объем многократно повторяется в реакционной зоне, закономерности протекания в нем химического процесса не зависят от масштаба, а условия для протекания процесса создаются потоками в масштабе реактора.

3. Для элементарного объема получить наблюдаемую скорость превращения W_H(C,Т), что было сделано в предыдущих разделах. Для первоначальных представлений о процессе в реакторе принимаем, что W_H(C,Т) имеет вид (структуру) кинетической модели.

4. Установить явления переноса между элементарными объемами, создающие условия протекания процесса в них и определяющие их взаимодействие. Совокупность этих явлений вместе с химическими процессами позволяет представить схему процесса в целом, включающую существенные для построения модели составляющие. Будем полагать, что модель должна предсказать распределение температуры и концентраций и, следовательно, позволит определить превращение исходных веществ в продукты.

5. Исходя из представлений о структуре и схеме процесса, построить математическую модель, которая в самом общем виде выглядит следующим образом:

Здесь dN/dt и dq/dt - накопление вещества и теплоты в выделенном элементарном объеме.

N _вх и Q _вх - материальные и тепловые потоки, входящие в выделенный объем (покидающие объем потоки имеют отрицательное значение); входящие потоки могут быть как конвективными (течение реагентов), так и диффузионного характера (вследствие возникновения градиентов концентраций и температуры).

N _ист и Q _ист - источники вещества и тепла внутри выделенного объема. Источником вещества является химическая реакция, источником тепла - химическая реакция и фазовые переходы и превращения.

Уравнения вида (2.127) составляются для всех участвующих в процессе веществ. Практически можно использовать меньшее их число, учитывая сохранение общей массы веществ и стехиометрические соотношения между реагирующими веществами.

Для многофазных процессов уравнения (2.127) и (2.128) составляют для каждой фазы и учитывают тепло- и массообмен между ними.

6. Чтобы уравнения (2.127) и (2.128) имели определенное решение или, как говорят, были замкнуты, их надо дополнить начальными и граничными условиями. Они строятся на основе условий осуществления процесса в реакторе и поведения потоков на границах изучаемой области - реакционной зоны.

Реализацию такой процедуры рассмотрим при построении математических моделей процессов в реакторах, представленных на рис. 2.1.

Периодические процессы в реакторе 1 на рис. 2.1. Все компоненты одновременно загружают в него. Реакция протекает при интенсивном перемешивании, так что можно считать концентрации и температуру в каждый момент времени одинаковыми по всему объему. Поэтому элементарным будет весь объем v_p реакционной зоны (далее реактора). Возможен теплообмен с теплоносителем, имеющим температуру Т_х. Поверхность теплообмена F_T и коэффициент теплообмена K_Т. Схема процесса в таком реакторе представлена на рис. 2.40, а.

Процесс - нестационарный. В реакторе нет входящих и выходящих потоков, и ∑N_ВХ= 0. Источником 1 -го вещества является химическое превращение: . Уравнение (2.127) будет выглядеть следующим образом (для i-го вещества):

Количество вещества в реакторе и предыдущее уравнение примет вид (полагаем, объем реагирующей смеси, равный v_p, не меняется):

dC_i/dt= W_i(C_t Т). (2.129а)

Источник тепла - изменение энтальпии в химическом превращении [для единственной реакции ] и теплообмен с теплоносителем K_TF_T(T_X-T). Уравнение (2.128) примет вид

Изменение количества теплоты в реакторе dq связано с изменением температуры в нем: dq = c_pv_pdT (принимаем теплоемкость с_р неизменной). Определим удельную поверхность теплообмена F_уд= F_t /Vp и получим

Процесс начинается при концентрациях и температуре T₀. Начальные условия для (2.129а) и (2.129б) задаем для начала процесса:

При t = 0 С=С_i₀. T=T₀. (2.129 b)

Такой процесс и описывающие его уравнения называют режимом (моделью) идеального смешения периодическим -ИС-п.

Процессы в реакторах типа 2, 3, 8 и в реакционной зоне реактора 12 на рис. 2.1.

Схема процесса представлена на рис. 2.40, б. Рассматриваем одну фазу, интенсивно перемешиваемую. Реактор проточный, и процесс протекает непрерывно. В реактор в единицу времени входит поток реагентов объема V ₀ и с ним каждого компонента в количестве V_oQ_io. Температура во входном потоке T₀. Принимаем, что объем реакционной смеси не меняется, и из реактора выходит поток Vо с температурой Т и каждого компонента – V₀C_i. Здесь С_i, Т- концентрации компонентов и температура как в реакторе, так и в выходящем потоке. Источник веществ - химическое превращение, т. е. ∑N_i_,ист=W_i/(С, T)v_p. Процесс протекает стационарно: dN_i /dt = 0 и dq/dt = 0. Уравнение (2.127) примет вид

Определим отношение Vp/V₀ = τ - условное время реакции, названное так из-за своей размерности (если V₀ [м³/с] и v_p |м³], то τ [с]). Отметим, что τ - отношение двух величин и не имеет физического смысла. По виду выражения т похоже на определение среднего времени пребывания потока в объеме, но обычно V₀ измеряют при нормальных условиях, а температура в реакторе и объем реакционной смеси в нем отличаются от нормальных условий. Уравнение (2.130) примет вид:

Источник теплоты в реакторе - химическое превращение Q_pr(С, T)v_p и теплообмен K_TF_T(T_X-T) (обозначения параметров теплообмена как в предыдущем процессе). Полагаем, что теплоемкость Ср реакционной смеси не меняется в процессе. Уравнение (2.128) принимает вид

Используя определение условного времени реакции т и удельной поверхности теплообмена F_уд=F_т/v_pполучим

Начальные условии - концентрации С_i _о и температура T₀ входят в уравнения (2.131а и б). Такой процесс и описывающие его уравнения называют режимом (моделью) идеального смешения непрерывным ИС-н.

Процессы в реакторах 4-7 и 9-11 на рис. 2.1 - непрерывные. Рассмотрим режим течения потока через реактор без перемешивания. Профиль скорости по сечению - плоский. Это возможно допустить, если масштаб отклонений много меньше масштаба реакционной зоны, что во многих реакторах выполняется. Такой режим потока называют поршневым, или идеального вытесне ния. Реактор представим в виде трубки сечением S, через которое проходит поток величиной V₀. (см рис. 2.40, в). Координата по направлению потока – l. По мере прохождения потока реакционной смеси вследствие химических превращений изменяются концентрации компонентов С_i и в общем случае - температура потока T. Одновременно может происходить теплообмен с теплоносителем через стенку. Элементарный объем в этом случае - участок толщиной dl и объемом dv_p=Sdl. В него входит с потоком компонент i в количестве V₀C_i и выхолит V₀(С_i + dC_i). Источник вещества в выделенном объеме - химическое превращение ∑N_i_,ист=W_i/(С, T)v_p. Процесс протекает стационарно (dN_i/dt = 0), объем реакционной смеси не меняется и уравнение (2.127) принимает вид

Использовав приведенное выше определение τ и, соответственно, dτ = dv_p/V₀, получим уравнение:

Скорость во всем сечении реактора и = V₀/S; до сечения l объем реактора v_p = lS и условное время реакции можно связать со скоростью потока: τ = v _p/ V₀ = l/ и.

Для теплового уравнения (2.128): dq/dt =0 - процесс стационарен; V₀c_pT - тепловой поток, входящий в элементарный объем, и V₀C_p(T + dT) - выходящий из него; Q_pr(C, T)dv_p+ K_τdF_t(T_x – T) - источники теплоты (реакция и теплообмен через боковую поверхность dF_T в выделенном объеме). Далее:

dF_T/dv_p = F_y_д - удельная поверхность теплообмена; для трубки

диаметром D_т_p: F _y_д =πD_трl(0,25πD_тр²l) = 4/D _тр. После преобразований получим:

Для замыкания двух дифференциальных уравнений (2.132а) и (2.1326) задаются начальные условия - концентрации C_i₀ и температура T₀ на входе в реактор:

при τ=0 С= С_/0 и T = Т₀. (2.132в)

Такой процесс и описывающие его уравнения называют ре жимом (моделью) идеального вытеснения - ИВ.

Процесс в реакторе с двухфазным потоком. Математическая модель включает в себя описание процесса в каждой из фаз Построение модели проводится так же, как было описано выше, но добавляются массо- и теплообмен между фазами. Они могут быть представлены как источники вещества и теплоты в фазе, например, выражениями

Где β, α - коэффициенты межфаpного обмена, Sуд - поверхность контакта фаз. приходящаяся на единицу объема фазы; С2, C1 - концентрации в контактирующих фазах; Т2, Т1 - температуры тех же фаз.

Обратим внимание на использование первого из выражений (2.133) для систем с фазами в различных агрегатных состояниях, например "газ - жидкость". Концентрации компонента в разных фазах вычитать некорректно - у них разная размерность: [моль/м³ газа] и [моль/м³ жидкости]. Необходимо использовать вместо концентрации в газовой фазе ее приведенное значение С_i = K_AP_i, где К_А- константа абсорбции, a P_i - парциальное давление компонента (см. разд. 2.4.3).

Для компонентов, которые поступают с одной фазой и реагируют в другой, вместо (2.133а) используют выражение для наблюдаемой скорости превращения.

Этим замечанием ограничим обсуждение вопроса построения модели двухфазного процесса в реакторе, поскольку далее будем рассматривать процессы в реакторе, описываемые уравнениями (2.129 а, б, в), (2.131 а, б) и (2.132 а, б, в). Они должны дать представление об общих свойствах процесса в реакторе. Такие модели иногда называют "идеальным реактором". Тем не менее практика показывает, что эти модели позволяют предсказывать показатели многих реальных промышленных реакторов.