МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Определители 2-го порядка
1. Определения. В ряде вопросов математики используются некоторые специальные выражения, называемые определителями (или детерминантами). Простейшие из них – это так называемые «определители 2-го порядка». Покажем, как эти определители возникают при решении системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Рассмотрим систему
а1x + b1y = c1,
а2x + b2y = c2.
Чтобы исключить неизвестное у, умножим второе уравнение на b1 и вычтем то, что получится, из первого уравнения, умноженного на b2. В результате окажется
(а1 b2 – а2 b1) х = c1 b2 – c2 b1.
Коэффициент при х записывается в виде 
и называется определителем 2-го порядка. Таким образом, определитель 2-го порядка есть некоторое число, определяемое как числами а1, а2, b1, b2, так и их взаимным расположением. Это расположение задается квадратной таблицей 
.
Чтобы подчеркнуть, что эта таблица рассматривается как нечто целое, ее окаймляют круглыми скобками или двумя парами вертикальных чёрточек: 
или 
.
Такие таблицы называют матрицами 2-го порядка. Про определитель говорят, что он порождён матрицей. Необходимо чётко понимать разницу между определителем и матрицей . Первый есть число, а вторая – просто таблица, составленная из четырёх чисел.
Итак, определителем матрицы называется число, находимое по формуле:
Det = а1 b2 – а2 b1.
Числа а1, а2, b1, b2 называют элементами определителя и порождающей его матрицы. Различают также первый столбец 
и второй столбец 
, первую строку 
и вторую строку 
. Строки и столбцы определителя называют рядами. Пара чисел а1, b2 образуют главную диагональ (+) определителя, пара чисел а2, b1 – вторую диагональ (–).
Примеры.
= 35 – 12 = 23; 
= 24 + 2 = 26; 
= 0; 
= 1.
Основные свойства определителей 2-го порядка.
I. Определитель не изменится, если его строки превратить в столбцы, а столбцы в строки (равноправность строк и столбцов):
= 
.
II. При перестановке строк (столбцов) определитель меняет знак:
= – 
.
III. Если строки (столбцы) определителя одинаковы, то определитель равен нулю: 
=0.
IV. Если все элементы одной из строк определителя умножить на некоторое число, то весь определитель умножится на это число, т.е. общий множитель элементов одной строки можно вынести за знак определителя:
=q .
V. Если элементы одной строки пропорциональны элементам другой, то определитель равен нулю:
=0.
VI. Если к одной из строк прибавить другую, умноженную на любое число, то определитель не изменится:
= .
Определители 3-го порядка
1. Определение. Определителем третьего порядка называется число:
= a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2 – a3 b2 c1 – a2 b1 c3 – a1 b3 c2.
Примеры.
= 72 + 280 +18 – 168 – 135 – 16 = 51.
= -9 + 28 – 20 – 10 – 24 – 21 = – 56.
Основные свойства определителей 3-го порядка.
Те же свойства, что и у определителей 2-го порядка.
