Методика выполнения лабораторной работы

Для исследований точности механической обработки используются следующие основные методы: расчетно-аналитический; вероятностно - статистический и расчетно-статистический.

e - основание натуральных логарифмов.

Дифференциальная функция нормального распределения графически выражается в виде симметричной кривой – кривой Гаусса (рис. 2).

Стандартное отклонение случайной величины σ является мерой рассеяния случайной величины и определяется

(3)

где x_i – координата соответствующей середины интервала;

Рис. 2 Дифференциальная функция нормального распределения.

Симметричность кривой относительно ординаты точки свидетельствует о том, что равновероятны одинаковые положительные и отрицательные отклонения от центра группирования. С изменением σ изменяется форма кривой.

При его уменьшении кривая становится более вытянутой и узкой, с увеличением σ максимальная ордината кривой уменьшается, а ширина увеличивается.

Изменение центра группирования приводит к смещению кривой (рис.3).

Рис. 3 Влияние параметров кривой Гаусса на ее форму и положение

Интегральный закон нормального распределения выражается в o6щем виде так

(4)

Величина F(x) определяет вероятность попадания случайной величины в интервал x₁<x >x₂. Если случайная величина x следует нормальному закону, то достоверно, что она может принимать любые численные значения в пределах ± ∞, то есть вероятность попадания случайной величины в интервал (-∞ <x<+ ∞) равна единице

Для облегчения вычислений формулу интегрального закона нормального распределения с помощью нормирующего множителя t =х/σ можно привести к виду

(5)

Интеграл

называют нормированной функцией Лапласа и его значения для различных t приводят в таблицах значений функции Лапласа. При использовании этих таблиц решение задачи по определению вероятности того, что случайная величина x находится в пределах x₁ – x₂, сводится к нахождению разности между двумя значениями функции Лапласа:

(6)

Для практических применений зона рассеяния случайной величины х, подчиняющейся закону нормального распределения, ограничивается пределами ± 3 σ и составляет 6 σ. При этом t₁ = - 3 и t₂ = 3.

Следовательно, P [-3σ < x < +3σ)] = Ф(3) - Ф(-3) = 2Ф(3). По таблицам функции Лапласа, 2 Ф( 3 ) = 0,9973. Это означает, что вероятность нахождения случайной величины вне указанного интервала q = 1- 0,9973 = 0,0027, то есть очень мала.

Распределение случайной величины по нормальному закону является следствием действия многих факторов, носящих случайный характер, имеющих примерно одинаковую степень активности и независящих или слабо зависящих один от другого. Такой комплекс условий не всегда оказывается полным. Его нарушение приводит к отклонению закона распределения от нормального.

Одной из форм таких отклонений может быть несимметричность кривой рассеяния (рис.4), характеризуемая коэффициентом асимметрии α, учитывающим смещение центра группирования относительно середины поля рассеяния σ_x:

(7)

Рис. 4 - Несимметричное распределение случайной величины

Практическое значение в технологии машиностроения имеют также закон равной вероятности и закон Симпсона. Распределение по закону равной вероятности встречается, когда наряду со случайными факторами, вызывающими рассеяние, действует доминирующий систематический фактор, непрерывно и равномерно изменяющий во времени положение центра группирования .

Графически такое распределение случайной величины отображается прямоугольником (рис.5).

Рис. 5 - Распределение случайной величины по закону равной вероятности

Дифференциальный закон распределения или плотность вероятности

(8)

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение соответственно равны

(9)

К распределению по закону Симпсона приводит сложение двух случайных величин, подчиненных закону равной вероятности при одинаковых параметрах рассеяния. Кривая рассеяния имеет вид равностороннего треугольника (рис. 6), из-за чего закон Симпсона часто называют законом треугольника.

Рис. 6 Распределение случайной величины по закону Симпсона

При выборе в качестве начала отсчета случайной величины ее центр группирования характеристики распределения имеют следующий вид:

(10)

(11)

Наличие характеристик распределения позволяет произвести оценку точности технологической операции. Расположение кривой распределения внутри поля допуска на изготовление детали свидетельствует о приемлемой точности (рис.7).

Необходимое условие обеспечения требуемой точности

(12)

Рис. 7. Взаимное расположение кривой распределения и поля допуска

при достаточной точности технологической операции

Данное условие не является достаточным, поскольку центр группирования может быть смещен под действием постоянных систематических факторов (рис.8). При этом, несмотря на то, что ширина кривой меньше допуска, существует вероятность получения деталей за пределами допуска.

Достаточное условие обеспечения требуемой точности технологической операции определяется соотношением фактического смещения S и максимально возможным смещением центра группирования относительно середины поля допуска (ЕС), s_max, при которой кривая распределения не выходит за пределы допуска. Граничное положение кривой показано на рис.8 штриховой линией.

Рис. 8 Смещение кривой распределения под действием постоянных систематических факторов

(13)

Таким образом, для обеспечения точности технологической операции необходимо и достаточно чтобы выполнялись два условия (12) и (13). Выполнение условия (12) свидетельствует о приемлемом уровне действия случайных факторов, а выполнение условия (13) – о допустимом уровне действия постоянных систематических факторов.

Использование кривых распределения позволяет оценить точность технологической операции не только на качественном уровне, но и дает возможность количественной оценки. Площадь дифференциальной кривой нормального распределения, не вошедшая в поле допуска, равна вероятности получения размера в диапазоне x_min – [ x_max ], то есть определяет возможный процент брака (рис.9).

Рис. 9 Определение вероятности получения брака.

Вероятность получения брака на основании формулы (6)

где

- определяет площадь под левой частью кривой, вошедшей в поле допуска;

- определяет площадь под всей левой частью кривой и равна 0,5.

Окончательно имеем выражение для определения возможного процента брака