Средняя, мода и медиана в оценке ассиметрии распределения

Мода(Мо) представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой.

Медианой(Ме) называется значение признака,приходящееся на середину ранжированной(упорядоченной) совокупности.

Если график распределения имеет симметричную форму и точку максимума, то прямая, разделяющая площадь под кривой пополам, и центр тяжести лежат на оси симметрии (см. рисунок). Итак, для такого симметричного распределения мода, медиана и среднее арифметическое совпадают.

Если график распределения имеет правостороннюю асимметрию ("хвост" вправо), то в этом случае мода размещена левее, а среднее арифметическое - правее медианы (см. рисунок).

Мо<Me<¯x

В самом деле, левее и правее медианы размещены одинаковые площади, но левой части соответствует меньшее основание, а правой - большее основание. Поэтому левая часть кривой выше правой, и мода будет находиться левее медианы. По этой самой причине медиана не может служить точкой равновесия, так как площадь части, соответствующей большему основанию, больше площади, размещенной на меньшем основании. Итак, среднее арифметическое находится правее медиан

15 Квартили представляют собой значения признака,делящие ранжированную совокупность на четыре равновеликие части. Различают квартиль нижний (Q1), отделяющий ¼ часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (Q3),отсекающий ¼ часть с наибольшими значениями признака.

Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы:

,

где xQ1 – нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25 %);

xQ3 – нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75 %);

i – величина интервала;

SQ1-1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

SQ3-1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему верхний квартиль;

fQ1 – частота интервала, содержащего нижний квартиль;

fQ3 – частота интервала, содержащего верхний квартиль.

Кроме квартилей в вариационных радах распределения могут определяться децили – варианты, делящие ранжированный вариационный ряд на десять равных частей. Первый дециль (d1) делит совокупность в соотношении 1/10 к 9/10, второй дециль (d1) – в соотношении 2/10 к 8/10 и т.д.

Вычисляются они по формулам:

, .

Значения признака, делящие ряд на сто частей, называются перцентилями. Поскольку эта характеристика применяется лишь при необходимости подробного изучения структуры вариационного ряда,приводить ее формулу и расчет не будем.