Теорема (3) о сочетании элементов симметрии и следствия из них
1. Осевая теорема Эйлера - Равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось, проходящая через точку их пересечения.
Частные случаи:
1) если есть поворотная ось симметрии порядка n и перпендикулярно этой оси проходит поворотная ось 2-го порядка, то всего имеется n осей 2-го порядка;
2) если под углом a пресекаются две поворотные оси 2-го порядка, то перпендикулярно им проходит поворотная ось с элементарным углом поворота в 2 раза большим угла пересечения (2a).
2. Точка пересечения оси симметрии второго порядка (L2) или четной оси симметрии с перпендикулярной ей плоскостью симметрии есть центр симметрии. Обратная теорема: Если есть центр симметрии и через него проходит плоскость симметрии, то перпендикулярно этой плоскости через центр симметрии проходит двойная ось симметрии.
3. Линия пересечения двух плоскостей симметрии является осью симметрии, причем, угол поворота вокруг оси вдвое больше угла между плоскостями. Следствия: 1) в присутствии оси симметрии порядка n и плоскости, проходящей вдоль оси, всего имеем n таких плоскостей;
2) Плоскость, проходящая вдоль инверсионной оси симметрии 3-его и 4-го порядков, приводит к появлению оси 2-го порядка, перпендикулярной инверсионной оси и проходящей по биссектрисе угла между плоскостями.
Принцип вывода классов симметрии
 | |||
|
Точечная группа симметрии = класс симметрии = вид симметрии = полная совокупность элементов симметрии фигуры (многогранника).
32 класса симметрии подразделяются на 3 категории (низшую, среднюю и высшую) и 7 (6) сингоний
Русский кристаллограф А.В. Гадолин в 19 в математически доказал, что в кристаллических многогранниках, тело которых строго ограниченно и зависит от внутреннего строения кристаллов, элементы симметрии наблюдаются в определенных комбинациях. Таких комбинаций элементов 32. Их назвали классами, или видами симметрии. Разделение кристаллов на 32 класса лежит в основе классификации геометрических форм кристаллов.А. Виды симметрии кристаллов, обладающих единичными направлениями. Относящиеся сюда кристаллические многогранники имеют по меньшей мере одно единичное направление. Примем его за исходное. Будем последовательно присоединять к нему элементы симметриитак, чтобы оно оставалось единичным.1) Единичное направление совпадает с единственной осью симметрииLn. L1, L2, L3, L4, L6 – примитивные виды симметрии2) К исходному единичному направлению прибавляется центр симметрии С. L1 +С=С, L2+С= L2РС, L3+С= L3С, L4+С= L4РС, L6+С= L6РС - цен-тральные виды симметрии.3) К исходному единичному направлению прибавляется плоскость симметрии, идущая вдоль него. L1 +Р=Р, L2+Р= L22Р, L3+Р= L33Р, L4+Р= L44Р, L6+Р= L66Р - планальные виды симметрии.4) Перпендикулярно исходному единичному направлению присоединяется ось второго порядка. L1 + L2= L2, L2+L2= 3L2, L3+L2= L33L2, L4+L2= L44L2, L6+L2= L66L2 –аксиальные виды симметрии.5) К исходному единичному направлению прибавляется
центр симметрии С и плоскость симметрии, идущая вдоль него L1+С+Р=L2РС, L2+С+Р=3L23РС, L3+С+Р=L33L23РС,
L4+С+Р=L44L25С, L6+С+Р= L66L27РС – планаксиальные виды симметрии.6) Единичное направление совпадает с инверсионной осью симметрииLin Li4, Li6 – инверсионно-примитивные виды симметрии.7) К исходному единичному направлению прибавляется плоскость
симметрии, идущая вдоль него. Li4+Р = Li42L22Р, Li6+Р = Li63L23Р – инверсиооно-планальные виды симметрии. Б. Виды симметрии кристаллов, не обладающих единичными направлениями. Из каждого направления выводятся симметрично-равные ему. 1) Совокупность осей симметрии кубического тетраэдра принимаем за примитивный вид симметрии. 4L33L2 2) К исходной совокупности осей симметрии добавляем центр симметрии 4L33L2+С=4L33L23РС – центральный вид симметрии. 3) Вдоль осей третьего порядка проводим плоскости симметрии 4L33L2+Р=4L33L26Р – планальный вид симметрии. 4) Добавляем перпендикулярно осям третьего порядка оси второго порядка: 4L33L2+ L2=4L33L26L2 – аксиальный вид симметрии. 5) Добавляем перпендикулярно осям третьего порядка оси второго порядка и центр симметрии:
4L33L2+ L2+С =4L33L26L29РС – планаксиальный вид симметрии. В результате вывод получено тридцать два вида симметрии – тридцать две совокупности элементов симметрии, возможных для кристаллических многогранников.
