6.1. метод следа(рис.7)
1.точки М и К лежат в плоскости сечения и в плоскости верхнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.
2.продолжим прямую, на которой лежит сторона DC параллелепипеда. Прямые DC и
MK пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.
3.так как точка Р также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую СС в некоторой точке Х.
4.точки Х и Р лежат в одной плоскости грани DCC D. Соединим их и получим прямую ХР.
5.так как плоскости граней (противоположных) параллельны, то через точку Р можно провести прямую в грани DAA D, параллельную прямой КХ. Эта прямая пересечет сторону АА в точке Y.
6.Аналогично, проводим прямую YM, параллельно прямой РХ. Она совпадет с точкой М. построение сечения РYMKX сделано верно.
6.2. метод внутреннего проецирования.(рис.8)
- отметим четырехугольник M K D A для нахождения точки пересечения сечения с гранью АА.
- F -точка пересечения диагоналей четырехугольника M K D A
- F- точка пересечения FF и РМ.
- для определения Y соединяем F и К.
- соединим Y и Р получаем отрезок PY.
- Y соединяем с М, получаем YMю
- отметим четырехугольник D M K C для нахождения точки пересечения сечения с гранью СС.
- Т -точка пересечения диагоналей четырехугольника D M K C.
- Т-точка пересечения Т Т и РК.
- для определения Х соединим М и Т.
- Соединяем К с Х и Х с Р. Получим PYMKX.
7.постройте сечение четырехугольной усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через точку на верхнем основании, точку на нижнем основании и точку на боковом ребре.
Итак, имеем пирамиду АВСDA B C D и точки L,M,K(рис.9)
Построение плоскости сечения усеченной пирамиды будем производить методом внутреннего проецирования, как выше упоминалось.
1.для определения точки пересечения с ребром СС рассмотрим четырехугольник
D L MC.
2.F -точка пересечения диагоналей L C и D M.
3. Соединим F с центром проецирования S и на пересечении с диагональю КМ получим F.
4.продлеваем прямую (диагональ) LF до пересечения с ребром СС, получаем Х.
5. К и Х в одной плоскости, соединяем, и получаем сечение грани КN.
6. N и M в одной плоскости, соединяем и получаем сечение грани NP.
7.для определения точки пересечения с ребром АА рассмотрим четырехугольник A L MD
8. Т -точка пересечения диагоналей А М и D L.
9. соединим Т и центр проецирования S и на пересечении с диагональю KL получим точку Т.
10. продлеваем диагональ МТ до пересечения с ребром АА, получим Y.
11. К и Y в одной плоскости, соединяем и получим сечение грани К.
12. R и L в одной плоскости, соединяем и получаем сечение грани RH.
13.Н и С в одной плоскости, сединяем и получаем сечение грани НР.
14.сечение усеченной пирамиды построено KNPHR.
8.показать, что изображение является сверхполым. Каким оно является- верным или неверным?
Изображена пирамида SABC и изображено произвольное сечение пирамиды плоскостью.
Между тем, как мы знаем, изображение пирамиды полное. Для определения плоскости сечения достаточно знать три какие-либо определенные относительно тетраэдра SABC
Точки. Тогда по свойству полных изображений, четвертая точка сечения L вполне определяется и может быть построена, например, методом следа.
Точки K,N,M –определенные очевидно, так как лежат на гранях пирамиды. Отрезки MN и АВ лежат в одной плоскости. Найдем точку их пересечения Х. точки К и Х лежат в одной плоскости, соединяя их получим сечение грани KL.
Итак KL MN- действительное сечение пирамиды.
Значит исходное изображение пирамиды с сечением KLMN-сверхполное, неверное.
9.достроить изображение до изображения многогранника, имеющего только четырехугольные грани, точки А, В, С, D, E, F, G в качестве вершин и параллельные ребра DE,BG.
(Рис.11)
На основании многогранника АВСD построим диагонали BD и AC.
Точка пересечения F.
Соединим точки G и Е и в точке пересечения GЕ и FH получили точку F.
Соединим F и F до пересечения с ребром из точки С, еолучим Н.
Многогранник с гранями в форме четырехугольников и с ребрами DE и GB построен.
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное