Показать, что чертеж, содержащий только определенные элементы в случае задания их своими изображениями и вторичными проекциями, является полным

Показать,что если прямая задана двумя своими определенными точками на чертеже (т.е. их изображениями и вторичными проекциями), то каждая точка этой прямой является определенной.

 

Предположим, что какая-либо прямая пространства задана на чертеже двумя своими определенными точками: P(P) и Q(Q). (рис.1)

 

.

 

Тогда все точки прямой PQ окажутся определенными на чертеже, т.е.основание каждой из них может быть построено. Построим, например, основание для точки М прямой PQ(рис.1):

М =P Q B M

Итак, все прямые, заданные двумя определенными точками каждая, оказываются определенными на чертеже, т.е. все их точки снабжены основаниями.

 

Показать. что если плоскость задана тремя своими определенными точками на чертеже(т.е. их изображениями и вторичными проекциями), то каждая точка этой плоскости является определенной.

 

Убедимся, что все точки плоскости PQR, заданной на чертеже тремя определенными точками P(P), Q(Q), R(R) (рис.2), являются определенными, т.е.их основания могут быть построены.

 

 

Найдем, например, основание точки М плоскости PQR(рис.2):

 

PM QR=N

B N Q R =N

P N B M=M

 

Итак, все плоскости, заданные тремя определенными точками каждая, оказываются определенными на чертеже, т.е. все их точки снабжены основаниями.

 

Показать, что чертеж, содержащий только определенные элементы в случае задания их своими изображениями и вторичными проекциями, является полным.

 

Докажем, что чертеж, все элементы которого (точки, прямые, плоскости) определенные, является полным. Для этого нужно убедиться в том, что на нашем чертеже может быть построена любая инцидекция оригинала. Задача сводится к тому, чтобы показать, что:

1)для любой плоскости и прямой на чертеже может быть построена точка их пересечения.

2)для любых двух плоскостей может быть построена прямая их пересечения.

Докажем первый пункт.

На чертеже заданы плоскость PQR(P Q R) и прямая KL(K L) (рис.3). точка их пересечения ищется следующим образом.

Плоскость B KL проецирующая и прямая K L -ее основание. Построим точки, в которых плоскость B KL пересекает стороны PR, QR треугольника PQR. Основания точек пересечения должны лежать на основаниях указанных сторон P R, Q R и на основании плоскости B KL, прямой R L. отсюда заключаем, что основания искомых точек, точки

F, G –точки, в которых прямая K L пересекает стороны P R, R Q треугольника P Q R.

После этого находим точки F и G, а затем прямую FG пересечения плоскостей PQR и

B KL. Так как FG и KL лежат в одной плоскости B KL, то они пересекаются в точке

М(М). Построенная точка М(М) принадлежит прямой KL(K L) и плоскости

PQR(P Q R).

Второй пункт о возможности построения прямой пересечения двух плоскостей следует из только что доказанного. В самом деле, пусть нам даны две плоскости –KLN(K L N) и

PQR(P Q R).

Построим точку S пересечения прямой KL с плоскостью PQR вышууказанным способом:

 

S=PQR KL

И точку пересечения прямой LN с плоскостью PQR:

 

T=PQR LN

 

Тогда прямая ST (S T) и будет, очевидно прямой пересечения данных плоскостей.

Из доказынных пунктов следует, что все инциденции между прямыми и плоскостями оригинала могут быть построены на чертеже, элементы которого определены, т.е. снабжены основаниями. Отсюда заключаем, что чертеж, элементы которого являются определенными, является полным.